Calcule os seguintes limites
lim t 1(t^2-tt-1, raizt-8, sen(pi t)ln t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos três limites quando t se aproxima de 1. Vamos usar conceitos de Cálculo de Limites, que envolvem entender como as funções se comportam perto de certos pontos. Para resolver, vamos precisar simplificar expressões, aplicar regras básicas de limites e entender funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
lim t 1 t^2-tt-1
Nesse caso, substituindo t = 1 diretamente, teríamos uma forma indeterminada 00 . Para resolver isso, podemos simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador:
t^2 - t = t(t - 1)
Então, temos:
t(t - 1)t - 1 = t
Agora, o limite fica simples:
lim t 1 t = 1

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
lim t 1 raizt - 8
Aqui, substituindo t = 1 :
raiz1 - 8 = raiz-7
Mas a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Portanto, esse limite não existe no conjunto dos números reais.

Passo 4

Por último, vamos calcular o terceiro limite:
lim t 1 sin(pi t)ln t
Primeiro, substituímos t = 1 :
sin(pi cdot 1)ln 1 = 00
Novamente, temos uma forma indeterminada. Para resolver, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos 00 ou inftyinfty , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador: ddt sin(pi t) = pi cos(pi t)
Derivada do denominador: ddt ln t = 1t
Então, o limite fica:
lim t 1 pi cos(pi t)1t = lim t 1 pi t cos(pi t)
Agora, substituindo t = 1 :
pi cdot 1 cdot cos(pi cdot 1) = pi cdot (-1) = -pi

Resposta

Assim, os limites são:
  1. lim t 1 t^2-tt-1 = 1
  2. lim t 1 raizt - 8 não existe nos números reais.
  3. lim t 1 sin(pi t)ln t = -pi

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