Calcule os seguintes limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos três limites quando
se aproxima de 1. Vamos usar conceitos de Cálculo de Limites, que envolvem entender como as funções se comportam perto de certos pontos. Para resolver, vamos precisar simplificar expressões, aplicar regras básicas de limites e entender funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
Nesse caso, substituindo
diretamente, teríamos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador:
Então, temos:
Agora, o limite fica simples:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
Aqui, substituindo
:
Mas a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Portanto, esse limite não existe no conjunto dos números reais.
Passo 4
Por último, vamos calcular o terceiro limite:
Primeiro, substituímos
:
Novamente, temos uma forma indeterminada. Para resolver, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Agora, substituindo
:
Resposta
Assim, os limites são:
-
-
não existe nos números reais. -