Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
Passo 1
O enunciado nos pede esboçar a região no plano
limitada pelas curvas
,
,
e
,
e calcular a área dessa região. Trata-se de um problema de área entre duas curvas, que faremos por integração em .
e calcular a área dessa região. Trata-se de um problema de área entre duas curvas, que faremos por integração em
Passo 2
Encontramos o ponto de interseção interno à faixa
resolvendo
Como
, isso leva a
No intervalo dado só vale
, ou seja
. O ponto de corte é
.
Passo 3
Para decidir qual curva está acima em cada trecho, avaliamos em pontos-chave:
- Em
: , , logo . - Em
: , , logo .
Portanto, emtemos e em vale .
Passo 4
Calculamos a área da parte em que
está acima de
, ou seja
Como
temos
Passo 5
Calculamos a área da parte em que
está acima de
, ou seja
Usando as mesmas primitivas:
Somando
vem