Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=sen(x), y=cos (2 x), x=0, x=pi4

Passo 1

O enunciado nos pede esboçar a região no plano xy limitada pelas curvas
,y=sin(x), ,y=cos(2x), ,x=0 e ,x=tfracpi4,
e calcular a área dessa região. Trata-se de um problema de área entre duas curvas, que faremos por integração em x.

Passo 2

Encontramos o ponto de interseção interno à faixa 0<= x<= tfracpi4 resolvendo
sin(x)=cos(2x)
Como cos(2x)=1-2sin^2(x), isso leva a
2sin^2(x)+sin(x)-1=0Longrightarrow sin(x)=tfrac12 ou sin(x)=-1
No intervalo dado só vale sin(x)=tfrac12, ou seja x=tfracpi6. O ponto de corte é l(tfracpi6,tfrac12r).

Passo 3

Para decidir qual curva está acima em cada trecho, avaliamos em pontos-chave:
  • Em x=0: sin(0)=0, cos(0)=1, logo cos(2x)>sin(x).
  • Em x=tfracpi4: sin(tfracpi4)=tfracraiz22approx0,707, cos(tfracpi2)=0, logo sin(x)>cos(2x).
    Portanto, em [0,tfracpi6] temos cos(2x)>=sin(x) e em [tfracpi6,tfracpi4] vale sin(x)>=cos(2x).

Passo 4

Calculamos a área da parte em que cos(2x) está acima de sin(x), ou seja
A1=integral0^pi/6l[cos(2x)-sin(x)r],dx
Como
integralcos(2x),dx=tfrac12sin(2x), integralsin(x),dx=-cos(x),
temos
A1 =l[tfrac12sin(2x)+cos(x)r]0^pi/6 =l(tfrac12sintfracpi3+costfracpi6r)-l(0+cos0r) =l(tfracraiz34+tfracraiz32r)-1 =tfrac3raiz34-1

Passo 5

Calculamos a área da parte em que sin(x) está acima de cos(2x), ou seja
A2=integralpi/6^pi/4l[sin(x)-cos(2x)r],dx
Usando as mesmas primitivas:
A2 =l[-cos(x)-tfrac12sin(2x)r]pi/6^pi/4 =l(-costfracpi4-tfrac12sintfracpi2r) -l(-costfracpi6-tfrac12sintfracpi3r)
=l(-tfracraiz22-tfrac12cdot1r) -l(-tfracraiz32-tfrac12cdottfracraiz32r) =-tfracraiz22-tfrac12+tfracraiz32+tfracraiz34 =tfrac3raiz34-tfrac12-tfracraiz22
Somando A1+A2 vem
A =l(tfrac3raiz34-1r) +l(tfrac3raiz34-tfrac12-tfracraiz22r) =tfrac3raiz32-tfrac32-tfracraiz22

Resposta

Área =12l(3raiz3 - raiz2 - 3r) Á

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