Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=e^x, y=e^3 x, x=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas ,y = e^x, ,y = e^3x e a reta vertical ,x = 1. O conteúdo necessário envolve encontrar a interseção entre as duas exponenciais, identificar qual fica acima na faixa considerada e usar cálculo de integrais para obter a área.

Passo 2

Para achar onde as duas curvas se encontram, resolvemos
e^x = e^3x
tomando logaritmo ou observando que isso só ocorre se x = 3x, daí
x = 0
Portanto, as curvas se cruzam no ponto (0,1).

Passo 3

No intervalo de x=0 até x=1, temos
e^3x > e^x,
pois a exponencial com maior coeficiente no expoente cresce mais rápido. Assim, a região fica entre as duas curvas, de x=0 (onde se tocam) até x=1 (reta vertical de fechamento).

Passo 4

Montamos o integral da área subtraindo a função de baixo da função de cima:
A = integral0^1 l(e^3x - e^xr),dx

Passo 5

Calculamos cada termo separadamente:
integral e^3x,dx = tfrac13e^3x, integral e^x,dx = e^x
Logo,
A = [tfrac13e^3x - e^x]0^1

Passo 6

Avaliação no intervalo:
A = l(tfrac13e^3 - e^1r) - l(tfrac13e^0 - e^0r) = tfrac13e^3 - e + l(-tfrac13 + 1r) = tfrac13e^3 - e + tfrac23

Resposta

A = e^3 - 3e + 23

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