Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
,
e a reta vertical
. O conteúdo necessário envolve encontrar a interseção entre as duas exponenciais, identificar qual fica acima na faixa considerada e usar cálculo de integrais para obter a área.
Passo 2
Para achar onde as duas curvas se encontram, resolvemos
tomando logaritmo ou observando que isso só ocorre se
, daí
Portanto, as curvas se cruzam no ponto
.
Passo 3
No intervalo de
até
, temos
pois a exponencial com maior coeficiente no expoente cresce mais rápido. Assim, a região fica entre as duas curvas, de
(onde se tocam) até
(reta vertical de fechamento).
Passo 4
Montamos o integral da área subtraindo a função de baixo da função de cima:
Passo 5
Calculamos cada termo separadamente:
Logo,
Passo 6
Avaliação no intervalo: