Calcule os seguintes limites:

1a
Calcule os seguintes limites: lim t ightarrow+infty<=ft(sqrtt^2+t-sqrtt^2+1 ight)

1b
Calcule os seguintes limites: lim x ightarrow-infty rac6 x^2sqrt[3]5 x^6-1

1c
Calcule os seguintes limites: lim x ightarrow 0 sin xx

1d
Calcule os seguintes limites: lim x ightarrow 1 x^3 - 1x - 1

1e
Calcule os seguintes limites: lim x ightarrow 2 x^2 - 4x - 2

2
Calcule o valor de oldsymbola e oldsymbolb para que a função abaixo seja contínua em todos os números do seu domínio.

3
Determine o valor da integral integral0^1 x^2 dx.

4
Resolva a equação diferencial: dydx = 3x^2.

5
Encontre a derivada da função f(x) = 3x^3 - 2x + 5.

6
Calcule a soma dos números inteiros de 1 a 100.

7
Qual é o valor de x que satisfaz a equação 2x + 3 = 11?

8
Liste os primeiros cinco números primos.

9
Resolva o sistema de equações:
x + y = 10 2x - y = 3

10
Calcule o valor de x para a função quadrática f(x) = x^2 - 4x + 3.

11
Qual é a área do círculo de raio 5?

12
Calcule o volume da esfera de raio 4.

13
Determine a média dos números 10, 20, 30, 40, 50.

14
Qual é a expressão para a velocidade média se a distância é 10km e o tempo é 2h?

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver 14 itens, que envolvem limites, continuidade, integrais, equações diferenciais, derivadas, soma de séries, álgebra elementar, sistema linear, raízes de polinômio, área de círculo, volume de esfera, média aritmética e velocidade média. Para isso, usaremos técnicas como racionalização, análise de termo dominante, fatoração, propriedades de limites notáveis e conhecimentos básicos de cálculo integral e diferencial.

Passo 2

Para o limite do tipo raizt^2 + t - raizt^2 + 1, aplicamos racionalização multiplicando e dividindo pelo conjugado das raízes. Isso simplifica a diferença de radicais e permite obter o limite.

Passo 3

Para o limite no infinito de uma expressão com potências e raízes, identificamos o termo de maior grau no numerador e no denominador. No caso de raiz de potência, lembramos que raiz[3]5x^6 = 5^1/3,|x^2|, o que facilita o cálculo do limite.

Passo 4

O limite limxto0 sin xx = 1 é um limite fundamental em cálculo, derivado da aproximação de sin x por x perto de zero.

Passo 5

Para limites de quocientes de polinômios com forma indeterminada 0/0, usamos fatoração de diferença de cubos x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) ou diferença de quadrados x^2 - 4 = (x-2)(x+2) para simplificar.

Passo 6

O item sobre continuidade não pode ser resolvido pois a definição da função não foi fornecida no enunciado.

Passo 7

Para a integral integral0^1 x^2 ,dx, aplicamos a regra de potência para integrais: integral x^n ,dx = x^n+1n+1 + C, avaliando de 0 a 1.

Passo 8

Para resolver a equação diferencial dydx = 3x^2, integramos ambos os lados em relação a x, obtendo y = x^3 + C.

Passo 9

Para a derivada de f(x)=3x^3-2x+5, usamos regras de derivação de potências: ddxx^n = n x^n-1.

Passo 10

Para a soma dos inteiros de 1 a 100, usamos a fórmula da soma de progressão aritmética: Sn = n(a1 + an)2.

Passo 11

Para resolver a equação linear 2x+3=11, isolamos x passando termos entre os lados.

Passo 12

Para listar os primeiros cinco números primos, usamos definição de número primo (divisível apenas por 1 e por si mesmo) e verificamos alguns valores iniciais.

Passo 13

Para o sistema linear x+y=10 e 2x-y=3, usamos combinação de equações (soma ou substituição) para encontrar x e y.

Passo 14

Para encontrar os valores de x que anulam f(x)=x^2-4x+3, resolvemos a equação quadrática x^2-4x+3=0 por fatoração.

Passo 15

Para a área de um círculo de raio r, usamos A=pi r^2.

Passo 16

Para o volume de uma esfera de raio r, usamos V=tfrac43pi r^3.

Passo 17

Para a média dos números, somamos todos e dividimos pela quantidade de termos.

Passo 18

Para a velocidade média, aplicamos vmédia = tfracdistânciatempoéâ.

Resposta

1a) tfrac12; 1b) tfrac6raiz[3]5; 1c) 1; 1d) 3; 1e) 4; 2) Não é possível determinar a e b pois a função não foi fornecida; 3) tfrac13; 4) y = x^3 + C; 5) f'(x) = 9x^2 - 2; 6) 5050; 7) x = 4; 8) 2,,3,,5,,7,,11; 9) x = tfrac133,; y = tfrac173; 10) x = 1,,3; 11) 25pi; 12) tfrac2563pi; 13) 30; 14) 5,km/h.

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