Calcule os seguintes limites:
1a
Calcule os seguintes limites:
1b
Calcule os seguintes limites:
1c
Calcule os seguintes limites:
1d
Calcule os seguintes limites:
1e
Calcule os seguintes limites:
2
Calcule o valor de
e
para que a função abaixo seja contínua em todos os números do seu domínio.
3
Determine o valor da integral
.
4
Resolva a equação diferencial:
.
5
Encontre a derivada da função
.
6
Calcule a soma dos números inteiros de 1 a 100.
7
Qual é o valor de
que satisfaz a equação
?
8
Liste os primeiros cinco números primos.
9
Resolva o sistema de equações:
10
Calcule o valor de
para a função quadrática
.
11
Qual é a área do círculo de raio 5?
12
Calcule o volume da esfera de raio 4.
13
Determine a média dos números 10, 20, 30, 40, 50.
14
Qual é a expressão para a velocidade média se a distância é
e o tempo é
?
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule o valor de
Determine o valor da integral
Resolva a equação diferencial:
Encontre a derivada da função
Calcule a soma dos números inteiros de 1 a 100.
Qual é o valor de
Liste os primeiros cinco números primos.
Resolva o sistema de equações:
Calcule o valor de
Qual é a área do círculo de raio 5?
Calcule o volume da esfera de raio 4.
Determine a média dos números 10, 20, 30, 40, 50.
Qual é a expressão para a velocidade média se a distância é
Passo 1
Nesse exercício vamos resolver 14 itens, que envolvem limites, continuidade, integrais, equações diferenciais, derivadas, soma de séries, álgebra elementar, sistema linear, raízes de polinômio, área de círculo, volume de esfera, média aritmética e velocidade média. Para isso, usaremos técnicas como racionalização, análise de termo dominante, fatoração, propriedades de limites notáveis e conhecimentos básicos de cálculo integral e diferencial.
Passo 2
Para o limite do tipo
, aplicamos racionalização multiplicando e dividindo pelo conjugado das raízes. Isso simplifica a diferença de radicais e permite obter o limite.
Passo 3
Para o limite no infinito de uma expressão com potências e raízes, identificamos o termo de maior grau no numerador e no denominador. No caso de raiz de potência, lembramos que
, o que facilita o cálculo do limite.
Passo 4
O limite
é um limite fundamental em cálculo, derivado da aproximação de
por
perto de zero.
Passo 5
Para limites de quocientes de polinômios com forma indeterminada
, usamos fatoração de diferença de cubos
ou diferença de quadrados
para simplificar.
Passo 6
O item sobre continuidade não pode ser resolvido pois a definição da função não foi fornecida no enunciado.
Passo 7
Para a integral
, aplicamos a regra de potência para integrais:
, avaliando de 0 a 1.
Passo 8
Para resolver a equação diferencial
, integramos ambos os lados em relação a
, obtendo
.
Passo 9
Para a derivada de
, usamos regras de derivação de potências:
.
Passo 10
Para a soma dos inteiros de 1 a 100, usamos a fórmula da soma de progressão aritmética:
.
Passo 11
Para resolver a equação linear
, isolamos
passando termos entre os lados.
Passo 12
Para listar os primeiros cinco números primos, usamos definição de número primo (divisível apenas por 1 e por si mesmo) e verificamos alguns valores iniciais.
Passo 13
Para o sistema linear
e
, usamos combinação de equações (soma ou substituição) para encontrar
e
.
Passo 14
Para encontrar os valores de
que anulam
, resolvemos a equação quadrática
por fatoração.
Passo 15
Para a área de um círculo de raio
, usamos
.
Passo 16
Para o volume de uma esfera de raio
, usamos
.
Passo 17
Para a média dos números, somamos todos e dividimos pela quantidade de termos.
Passo 18
Para a velocidade média, aplicamos
.
Resposta
1a)
; 1b)
; 1c)
; 1d)
; 1e)
; 2) Não é possível determinar
e
pois a função não foi fornecida; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
; 7)
; 8)
; 9)
; 10)
; 11)
; 12)
; 13)
; 14)
.