Quantas soluções a equação trigonométrica
sen^4 x-cos ^4 x=12
admite no intervalo fechado com extremos 0 e 35 pi?
a) 66
b) 68
c) 70
d) 72
e) 74

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir quantas soluções a equação trigonométrica tem no intervalo de a . Pra resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma identidade de diferença de quadrados. Sabemos que:
a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
Aplicando isso na nossa equação:
sin^4 x - cos^4 x = (sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x)
Como sin^2 x - cos^2 x = 12 , a equação fica:

Passo 3

Agora, usamos outra identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin^2 x - cos^2 x = -cos 2x
Então, substituindo na equação:
-cos 2x = 12 Rightarrow cos 2x = -12

Passo 4

Vamos achar os valores de 2x = 2pi3 + 2pi n ou 2x = 4pi3 + 2pi n onde n in Z que satisfazem x = pi3 + pi n ou x = 2pi3 + pi n . Sabemos que isso ocorre quando:
Dividindo tudo por 2:

Passo 5

Agora, precisamos descobrir quantos desses valores de 35pi div pi = 35 estão no intervalo de 35 times 2 = 70 soluções a . Cada período de gera duas soluções ( e ). Então, quantos períodos de cabem em ?
Cada um dos 35 períodos tem 2 soluções, então:
çõ

Resposta

c) 70

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