Sendo
constantes reais, o gráfico da função polinomial
, com
, tem 5 intersectos reais distintos com o eixo
, sendo um deles
. Nessas condiçōes, necessariamente
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma função polinomial do quinto grau:
onde $ a, b, c, d, e, f, g $ são constantes reais e $ f \neq g $. O gráfico dessa função intercepta o eixo $ x $ em 5 pontos distintos, e um desses pontos é $ (0,0) $. A pergunta está perguntando se, nesse cenário, necessariamente o coeficiente $ a $ é diferente de zero, ou seja, se $ a \neq 0 $.
Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de polinômios e suas raízes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as interseções com o eixo $ x $ são os valores de $ x $ que fazem $ P(x) = 0 $. Então, se $ (0,0) $ é um ponto de interseção, isso significa que quando $ x = 0 $, $ P(0) = 0 $.
Vamos calcular $ P(0) $:
Mas sabemos que $ P(0) = 0 $, então:
Passo 3
Essa equação só será verdadeira se o numerador for zero, já que o denominador $ f - g $ não pode ser zero (porque foi dado que $ f \neq g $). Portanto:
Então, agora sabemos que $ e = 0 $.
Passo 4
Agora, a função $ P(x) $ simplifica para:
Fatorando $ x $ dessa expressão, temos:
Isso confirma que $ x = 0 $ é uma raiz da função, o que já sabíamos.
Passo 5
Sabemos que $ P(x) $ tem 5 raízes reais distintas. Uma delas é $ x = 0 $, então as outras quatro raízes vêm do polinômio $ x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d $.
Agora, vamos analisar o grau do polinômio. O termo de maior grau é $ x^{5} $, o que indica que o comportamento da função para $ x $ muito grande ou muito pequeno é dominado por $ x^{5} $.
Passo 6
Se $ a = 0 $, a função $ P(x) $ ficaria:
Isso ainda é um polinômio do quinto grau, mas sem o termo $ x^{4} $. Olhando para as raízes, teríamos novamente $ x = 0 $ e as outras quatro raízes viriam de $ x^{4} + b x^{2} + c x + d $.
Passo 7
No entanto, para que haja cinco interseções distintas com o eixo $ x $, a função deve não apenas ter cinco raízes reais, mas também que os coeficientes permitam que essas raízes sejam distintas. O termo $ x^{4} $ influencia a forma da curva e a localização das raízes.
Se $ a = 0 $, a simetria do polinômio muda, o que pode afetar a possibilidade de todas as cinco raízes serem reais e distintas. Specifically, the presence of the $ x^4 $ term allows for more flexibility in the curve’s shape to accommodate five distinct real roots.
Passo 8
Portanto, para garantir que a função $ P(x) $ tenha cinco raízes reais distintas, é necessário que o coeficiente $ a $ seja diferente de zero. Se $ a = 0 $, a função pode não ter a flexibilidade necessária para cruzar o eixo $ x $ cinco vezes de forma distinta.
Resposta
Sim, necessariamente $ a \neq 0 $.