Sendo a, b, c, d, e, f, g constantes reais, o gráfico da função polinomial
P(x)=x^5+a x^4+b x^3+c x^2+d x+ef-g, com f neq g, tem 5 intersectos reais distintos com o eixo x, sendo um deles (0,0). Nessas condiçōes, necessariamente
a) a neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma função polinomial do quinto grau:
P(x) = x^5 + a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + ef - g,
onde $ a, b, c, d, e, f, g $ são constantes reais e $ f \neq g $. O gráfico dessa função intercepta o eixo $ x $ em 5 pontos distintos, e um desses pontos é $ (0,0) $. A pergunta está perguntando se, nesse cenário, necessariamente o coeficiente $ a $ é diferente de zero, ou seja, se $ a \neq 0 $.
Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de polinômios e suas raízes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as interseções com o eixo $ x $ são os valores de $ x $ que fazem $ P(x) = 0 $. Então, se $ (0,0) $ é um ponto de interseção, isso significa que quando $ x = 0 $, $ P(0) = 0 $.
Vamos calcular $ P(0) $:
x
Mas sabemos que $ P(0) = 0 $, então:
x

Passo 3

Essa equação só será verdadeira se o numerador for zero, já que o denominador $ f - g $ não pode ser zero (porque foi dado que $ f \neq g $). Portanto:
f - g
Então, agora sabemos que $ e = 0 $.

Passo 4

Agora, a função $ P(x) $ simplifica para:
P(x)
Fatorando $ x $ dessa expressão, temos:
P(x) = x^5 + a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x
Isso confirma que $ x = 0 $ é uma raiz da função, o que já sabíamos.

Passo 5

Sabemos que $ P(x) $ tem 5 raízes reais distintas. Uma delas é $ x = 0 $, então as outras quatro raízes vêm do polinômio $ x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d $.
Agora, vamos analisar o grau do polinômio. O termo de maior grau é $ x^{5} $, o que indica que o comportamento da função para $ x $ muito grande ou muito pequeno é dominado por $ x^{5} $.

Passo 6

Se $ a = 0 $, a função $ P(x) $ ficaria:
a = 0
Isso ainda é um polinômio do quinto grau, mas sem o termo $ x^{4} $. Olhando para as raízes, teríamos novamente $ x = 0 $ e as outras quatro raízes viriam de $ x^{4} + b x^{2} + c x + d $.

Passo 7

No entanto, para que haja cinco interseções distintas com o eixo $ x $, a função deve não apenas ter cinco raízes reais, mas também que os coeficientes permitam que essas raízes sejam distintas. O termo $ x^{4} $ influencia a forma da curva e a localização das raízes.
Se $ a = 0 $, a simetria do polinômio muda, o que pode afetar a possibilidade de todas as cinco raízes serem reais e distintas. Specifically, the presence of the $ x^4 $ term allows for more flexibility in the curve’s shape to accommodate five distinct real roots.

Passo 8

Portanto, para garantir que a função $ P(x) $ tenha cinco raízes reais distintas, é necessário que o coeficiente $ a $ seja diferente de zero. Se $ a = 0 $, a função pode não ter a flexibilidade necessária para cruzar o eixo $ x $ cinco vezes de forma distinta.

Resposta

Sim, necessariamente $ a \neq 0 $.

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