Nome:
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)= (x^2+y^2) sen 1raizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) f é contínua na origem?
(b) f é diferenciável na origem?
© f é de classe C^1 na origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente quando f(x, y) é igual a (x, y) ou não. O que precisamos descobrir são três coisas sobre essa função na origem:
a) Se ela é contínua na origem.
b) Se ela é diferenciável na origem.
c) Se ela é de classe $ C^{1} $ na origem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, diferenciabilidade e classe $ C^{1} $ de funções de várias variáveis.

Passo 2

Parte (a): A função $ f $ é contínua na origem?
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua na origem. Basicamente, a função $ f $ é contínua em f se o limite de $ f(x, y) $ quando f se aproxima de (0,0) for igual a $ f(0,0) $.
A função está definida assim:
f(x, y)
Então, queremos calcular:
(x, y)
Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja:
(0,0)
Multiplicando todos por f(0,0) , temos:
f(x, y)= (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Agora, quando lim(x, y) to (0,0) (x^2+y^2) sin 1raizx^2+y^2 , -1 <= sin 1raizx^2+y^2 <= 1 , então ambos os limites inferiores e superiores vão para 0. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite de $ f(x, y) $ também será 0.
Como $ f(0,0) = 0 $, concluímos que $ f $ é contínua na origem.

Passo 3

Parte (b): A função $ f $ é diferenciável na origem?
Para verificar se $ f $ é diferenciável em f , precisamos checar se as derivadas parciais existem e são contínuas na origem, além de verificar a definição de diferenciabilidade.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em f .
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
(0,0)
Substituindo:
f
Então:
(0,0)
Como $ |\sin \frac{1}{|h|}| \leq 1 $, então $ |h \sin \frac{1}{|h|}| \leq |h| $, e quando $ h \to 0 $, $ h \sin \frac{1}{|h|} \to 0 $. Portanto, $ f_x(0,0) = 0 $.
O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ y $:
x
Agora, para verificar a diferenciabilidade, precisamos que:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Simplificando:
f(h, 0) = h^2 sin 1|h|
onde $ r = \sqrt{h^{2} + k^{2}} $.
Novamente, como $ |\sin \frac{1}{r}| \leq 1 $, temos:
fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin 1|h|h = limh to 0 h sin 1|h|
E como $ r \to 0 $, o limite é 0.
Portanto, $ f $ é diferenciável na origem.

Passo 4

Parte ©: A função $ f $ é de classe $ C^{1} $ na origem?
Uma função é de classe $ C^{1} $ em um ponto se ela for diferenciável nesse ponto e se suas derivadas parciais forem contínuas nesse ponto.
Já vimos que $ f $ é diferenciável na origem e que $ f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0 $.
Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais em f .
Vamos analisar $ f_x $ e $ f_y $ para C^1 :
Usando derivadas de funções compostas e trigonométricas, teríamos:
C^1
Analisando o termo:
f
Esse termo não possui limite quando fx(0,0) = fy(0,0) = 0 porque $ \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ oscila entre -1 e 1, e o fator $ \frac{x}{(x^{2} + y{2}){1.5}} $ tende a infinito.
Portanto, as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ não são contínuas na origem.
Assim, embora $ f $ seja diferenciável na origem, suas derivadas parciais não são contínuas ali, o que significa que $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.

Resposta

a) Sim, $ f $ é contínua na origem.
b) Sim, $ f $ é diferenciável na origem.
c) Não, $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.

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