Nome:
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função
dada por
(a)
é contínua na origem?
(b)
é diferenciável na origem?
©
é de classe
na origem?
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente quando
é igual a
ou não. O que precisamos descobrir são três coisas sobre essa função na origem:
a) Se ela é contínua na origem.
b) Se ela é diferenciável na origem.
c) Se ela é de classe $ C^{1} $ na origem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, diferenciabilidade e classe $ C^{1} $ de funções de várias variáveis.
Passo 2
Parte (a): A função $ f $ é contínua na origem?
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua na origem. Basicamente, a função $ f $ é contínua em
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual a $ f(0,0) $.
A função está definida assim:
Então, queremos calcular:
Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos por
, temos:
Agora, quando
,
, então ambos os limites inferiores e superiores vão para 0. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite de $ f(x, y) $ também será 0.
Como $ f(0,0) = 0 $, concluímos que $ f $ é contínua na origem.
Passo 3
Parte (b): A função $ f $ é diferenciável na origem?
Para verificar se $ f $ é diferenciável em
, precisamos checar se as derivadas parciais existem e são contínuas na origem, além de verificar a definição de diferenciabilidade.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em
.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Substituindo:
Então:
Como $ |\sin \frac{1}{|h|}| \leq 1 $, então $ |h \sin \frac{1}{|h|}| \leq |h| $, e quando $ h \to 0 $, $ h \sin \frac{1}{|h|} \to 0 $. Portanto, $ f_x(0,0) = 0 $.
O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ y $:
Agora, para verificar a diferenciabilidade, precisamos que:
Simplificando:
onde $ r = \sqrt{h^{2} + k^{2}} $.
Novamente, como $ |\sin \frac{1}{r}| \leq 1 $, temos:
E como $ r \to 0 $, o limite é 0.
Portanto, $ f $ é diferenciável na origem.
Passo 4
Parte ©: A função $ f $ é de classe $ C^{1} $ na origem?
Uma função é de classe $ C^{1} $ em um ponto se ela for diferenciável nesse ponto e se suas derivadas parciais forem contínuas nesse ponto.
Já vimos que $ f $ é diferenciável na origem e que $ f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0 $.
Agora, precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais em
.
Vamos analisar $ f_x $ e $ f_y $ para
:
Usando derivadas de funções compostas e trigonométricas, teríamos:
Analisando o termo:
Esse termo não possui limite quando
porque $ \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ oscila entre -1 e 1, e o fator $ \frac{x}{(x^{2} + y{2}){1.5}} $ tende a infinito.
Portanto, as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ não são contínuas na origem.
Assim, embora $ f $ seja diferenciável na origem, suas derivadas parciais não são contínuas ali, o que significa que $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.
Resposta
a) Sim, $ f $ é contínua na origem.
b) Sim, $ f $ é diferenciável na origem.
c) Não, $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.