Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}.
Informações dadas:
\;x\to\infty, a expressão é \left(\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}.
Não há outras condições; queremos o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): transformar a expressão exponencial em algo com logaritmo para usar limites fundamentais. A razão é esta identidade útil: se y(x)>0 e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln(y(x))=L existe finito, então
\lim_{x\to\infty} y(x)=e^{L},
porque a função exponencial e^{z} é contínua. Então vamos calcular
\lim_{x\to\infty} \ln\!\left(\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}\right)
e depois aplicar a exponencial ao resultado. Essa transformação reduz um problema do tipo \text{(algo)}^{\text{algo grande}} a um limite de uma soma/produto mais manejável.

Passo 3

Simplificamos a base da potência:
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}=\frac{(x^{2}-3)+4}{x^{2}-3}=1+\frac{4}{x^{2}-3}.
Portanto a expressão original é
\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}.

Passo 4

Tomamos o logaritmo natural da expressão e reescrevemos para usar um limite fundamental. Seja
A(x)=\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}.
Então
\ln(A(x))=x^{2}\ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right).
Agora fazemos a substituição
t=\frac{4}{x^{2}-3}.
Observe que quando x\to\infty temos t\to 0. Também podemos expressar x^{2} em função de t:
x^{2}-3=\frac{4}{t}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{t}+3.
Substituindo em \ln(A(x)) obtemos
\ln(A(x))=\left(\frac{4}{t}+3\right)\ln(1+t)=4\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}+3\ln(1+t).

Passo 5

Aplicamos os limites fundamentais. Sabemos que
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1
(essa é uma das formas fundamentais relacionadas ao número e), e também
\lim_{t\to 0}\ln(1+t)=0.
Portanto, tomando limite em t\to 0,
\lim_{x\to\infty}\ln(A(x))=\lim_{t\to 0}\left(4\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}+3\ln(1+t)\right)=4\cdot 1 + 3\cdot 0 = 4.

Passo 6

Voltando à função original usando a continuidade da exponencial:
\lim_{x\to\infty}A(x)=\exp\!\left(\lim_{x\to\infty}\ln(A(x))\right)=e^{4}.

Resposta

e^{4}

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