Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 1}\left[(1-x) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 1}\left[(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right].
Informações dadas:
  • A função envolvida é o produto de (1-x), que tende a 0 quando x\to 1, e \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right), cujo argumento tende a \frac{\pi}{2} quando x\to 1.
  • Sabemos que \operatorname{tg}(t) tem uma assíntota vertical em t=\frac{\pi}{2}, então \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) tende a \pm\infty quando x\to 1.
    Pergunta: qual é o valor numérico do limite acima?

Passo 2

Classificação da forma indefinida e estratégia inicial.
  • Quando x\to 1, temos (1-x)\to 0 e \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\to\pm\infty. Logo a expressão é do tipo 0\cdot\infty, uma forma indeterminada.
  • Método conveniente: fazer uma mudança de variável que aproxime o fator que explode por algo do tipo 1/u, e então usar o limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Isso é mais simples e mais elementar do que aplicar L’Hospital diretamente.

Passo 3

Fazer a substituição que centraliza o comportamento em torno de 0.
Defina
u=\frac{\pi}{2}(1-x).
Observe as relações:
u\to 0 \quad\text{quando}\quad x\to 1,
e invertendo,
1-x=\frac{2u}{\pi}.
Também calcule o argumento de \operatorname{tg}:
\frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}-u.
Portanto
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}-u\right).

Passo 4

Usar identidade trigonométrica para reescrever a tangente.
Sabemos que
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}-u\right)=\cot(u),
onde \cot(u)=\dfrac{\cos u}{\sin u}. Assim a expressão do limite torna-se, em função de u:
(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) =\frac{2u}{\pi}\,\cot(u).

Passo 5

Reescrever \cot(u) e organizar para aplicar o limite fundamental.
Escrevendo \cot(u) como \dfrac{\cos u}{\sin u}, temos
\frac{2u}{\pi}\,\cot(u) =\frac{2u}{\pi}\cdot\frac{\cos u}{\sin u} =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{u}{\sin u}\cdot\cos u.

Passo 6

Aplicar os limites conhecidos.
Usamos dois fatos elementares quando u\to 0:
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1\quad\Rightarrow\quad \lim_{u\to 0}\frac{u}{\sin u}=1,
e
\lim_{u\to 0}\cos u=1.
Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{2}{\pi}\cdot\frac{u}{\sin u}\cdot\cos u =\frac{2}{\pi}\cdot 1\cdot 1=\frac{2}{\pi}.

Passo 7

Interpretação final e ânimo.
O produto original, apesar de envolver uma tangente que explode e um fator que vai a zero, tem um comportamento bem regular quando reescrito com a substituição u=\tfrac{\pi}{2}(1-x). O resultado é a constante \tfrac{2}{\pi}. Boa: você já viu a técnica principal — transformar para usar \sin u/u — que aparece muito em provas. Força, tá indo bem!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\pi}

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