Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função envolvida é o produto de
, que tende a quando , e , cujo argumento tende a quando . - Sabemos que
tem uma assíntota vertical em , então tende a quando .
Pergunta: qual é o valor numérico do limite acima?
Passo 2
Classificação da forma indefinida e estratégia inicial.
- Quando
, temos e . Logo a expressão é do tipo , uma forma indeterminada. - Método conveniente: fazer uma mudança de variável que aproxime o fator que explode por algo do tipo
, e então usar o limite fundamental
Isso é mais simples e mais elementar do que aplicar L’Hospital diretamente.
Passo 3
Fazer a substituição que centraliza o comportamento em torno de
.
Defina
Defina
Observe as relações:
e invertendo,
Também calcule o argumento de
:
Portanto
Passo 4
Usar identidade trigonométrica para reescrever a tangente.
Sabemos que
Sabemos que
onde
. Assim a expressão do limite torna-se, em função de
:
Passo 5
Reescrever
e organizar para aplicar o limite fundamental.
Escrevendo como
, temos
Escrevendo
Passo 6
Aplicar os limites conhecidos.
Usamos dois fatos elementares quando :
Usamos dois fatos elementares quando
e
Portanto
Passo 7
Interpretação final e ânimo.
O produto original, apesar de envolver uma tangente que explode e um fator que vai a zero, tem um comportamento bem regular quando reescrito com a substituição . O resultado é a constante
. Boa: você já viu a técnica principal — transformar para usar
— que aparece muito em provas. Força, tá indo bem!
O produto original, apesar de envolver uma tangente que explode e um fator que vai a zero, tem um comportamento bem regular quando reescrito com a substituição