Questão 1. Considere as funções
e
dadas por
e
.
a) (
) Analise o sinal da função
, isto é, diga em quais intervalos temos
igual a zero, positivo ou negativo.
b) (1,0 pt) Determine o domínio da função
.
c)
Encontre as expressões para as composições
e
.
a) (
b) (1,0 pt) Determine o domínio da função
c)
Passo 1
Dado:
Perguntas do enunciado:
a) Determine os zeros de e em quais intervalos
é positiva ou negativa.
b) Determine o domínio da função .
c) Encontre as expressões de e
.
a) Determine os zeros de
b) Determine o domínio da função
c) Encontre as expressões de
Passo 2
Vamos encontrar os zeros (raízes) de
. Para isso resolvemos a equação
Usamos a fatoração simples para quadrática: procuramos dois números cuja soma seja
e produto
. Esses números são
e
, portanto
Da fatoração, as raízes são
e
, pois são os valores que anulam um dos fatores.
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
com base nos fatores
e
.
- Cada fator muda de sinal ao passar pela sua raiz.
- A função
é um polinômio de grau com coeficiente líder positivo ( ), logo a parábola abre para cima: isso significa que será positivo para muito à esquerda e muito à direita, e negativo entre as raízes.
Fazendo a análise por intervalos (usando pontos de teste ou raciocínio dos sinais):
- Para
: ambos os fatores e são negativos e negativo vezes negativo é positivo, então . - Para
: e , produto positivo vezes negativo é negativo, logo . - Para
: ambos positivos, então .
Concluímos:
- Zeros:
e . -
em e em . -
em .
Passo 4
Agora vamos determinar o domínio de
. Primeiro lembro o que significa domínio de uma função composta por fração:
- O numerador
só está definido para os que tornam o radicando não negativo, porque aqui é a raiz quadrada principal (não definimos raiz quadrada de número negativo nos reais). - O denominador
não pode ser zero (divisão por zero é proibida). - O domínio da fração é, portanto, o conjunto dos
que satisfazem simultaneamente: o radicando de é e .
Passo a passo:
- Resolver
. Isso dá
Logo o domínio de
é
.
-
Lembrando as raízes de
: em e . Para a fração precisamos excluir esses pontos do domínio (se estiverem no conjunto permitido por ). -
Intersecção: o domínio de
é o domínio de sem os pontos onde zera. Observe que não pertence a (pois ), então não precisamos nos preocupar com . Já pertence a , logo devemos excluí-lo.
Portanto o domínio de
é
Passo 5
Agora calculamos
. Por definição de composição, substituímos
no lugar de
em
:
Fazendo a multiplicação e simplificação passo a passo:
Somando os termos constantes
, obtemos
Podemos reescrever em ordem decrescente de potências ou como
; ambas representam a mesma expressão. Note que, como é uma raiz quadrada, a expressão só faz sentido nos
que tornam o radicando não negativo, mas o enunciado pediu só a expressão.
Passo 6
Agora calculamos
. De novo, por definição, substituímos
no lugar de
em
:
Sabemos que
. Então
porque a operação de elevar ao quadrado anula a raiz (desde que esteja bem definida). Substituindo:
Simplificando os termos constantes
, obtemos
Aqui também vale notar que essa expressão só está definida para
, que é o domínio de
, mas o enunciado pediu apenas a expressão.
Resposta
(a) Zeros:
e
.\n
em
e em
.
em
.\n(b) Domínio de
:
.\n(c)
\n