Questão 1. Considere as funções f e g dadas por f(x)=\sqrt{1-4 x} \quad e \quad g(x)=x^{2}+3 x-10.
a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Analise o sinal da função g, isto é, diga em quais intervalos temos g(x) igual a zero, positivo ou negativo.
b) (1,0 pt) Determine o domínio da função \frac{f}{g}.
c) (0,5 \mathrm{pt}) Encontre as expressões para as composições f(g(x)) e g(f(x)).

Passo 1

Dado:
f(x)=\sqrt{1-4x}
g(x)=x^{2}+3x-10
Perguntas do enunciado:
a) Determine os zeros de g e em quais intervalos g(x) é positiva ou negativa.
b) Determine o domínio da função \dfrac{f}{g}.
c) Encontre as expressões de f(g(x)) e g(f(x)).

Passo 2

Vamos encontrar os zeros (raízes) de g(x). Para isso resolvemos a equação
g(x)=x^{2}+3x-10=0.
Usamos a fatoração simples para quadrática: procuramos dois números cuja soma seja 3 e produto -10. Esses números são 5 e -2, portanto
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).
Da fatoração, as raízes são x=-5 e x=2, pois são os valores que anulam um dos fatores.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de g(x) com base nos fatores (x+5) e (x-2).
  • Cada fator muda de sinal ao passar pela sua raiz.
  • A função g é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo ( 1), logo a parábola abre para cima: isso significa que g(x) será positivo para x muito à esquerda e muito à direita, e negativo entre as raízes.
Fazendo a análise por intervalos (usando pontos de teste ou raciocínio dos sinais):
  • Para x<-5: ambos os fatores (x+5) e (x-2) são negativos e negativo vezes negativo é positivo, então g(x)>0.
  • Para -5<x<2: (x+5)>0 e (x-2)<0, produto positivo vezes negativo é negativo, logo g(x)<0.
  • Para x>2: ambos positivos, então g(x)>0.
Concluímos:
  • Zeros: x=-5 e x=2.
  • g(x)>0 em (-\infty,-5) e em (2,\infty).
  • g(x)<0 em (-5,2).

Passo 4

Agora vamos determinar o domínio de \dfrac{f}{g}. Primeiro lembro o que significa domínio de uma função composta por fração:
  • O numerador f(x)=\sqrt{1-4x} só está definido para os x que tornam o radicando não negativo, porque \sqrt{\cdot} aqui é a raiz quadrada principal (não definimos raiz quadrada de número negativo nos reais).
  • O denominador g(x) não pode ser zero (divisão por zero é proibida).
  • O domínio da fração é, portanto, o conjunto dos x que satisfazem simultaneamente: o radicando de f é \ge 0 e g(x)\neq 0.
Passo a passo:
  1. Resolver 1-4x\ge 0. Isso dá
1-4x\ge 0 \iff -4x \ge -1 \iff x \le \frac{1}{4}.
Logo o domínio de f é (-\infty,\tfrac{1}{4}].
  1. Lembrando as raízes de g: g(x)=0 em x=-5 e x=2. Para a fração precisamos excluir esses pontos do domínio (se estiverem no conjunto permitido por f).
  2. Intersecção: o domínio de \dfrac{f}{g} é o domínio de f sem os pontos onde g zera. Observe que x=2 não pertence a (-\infty,\tfrac{1}{4}] (pois 2>\tfrac{1}{4}), então não precisamos nos preocupar com 2. Já x=-5 pertence a (-\infty,\tfrac{1}{4}], logo devemos excluí-lo.
Portanto o domínio de \dfrac{f}{g} é
(-\infty,-5)\cup(-5,\tfrac{1}{4}].

Passo 5

Agora calculamos f(g(x)). Por definição de composição, substituímos g(x) no lugar de x em f:
f(g(x))=\sqrt{1-4\big(g(x)\big)}=\sqrt{1-4\big(x^{2}+3x-10\big)}.
Fazendo a multiplicação e simplificação passo a passo:
1-4(x^{2}+3x-10)=1-4x^{2}-12x+40.
Somando os termos constantes 1+40=41, obtemos
f(g(x))=\sqrt{-4x^{2}-12x+41}.
Podemos reescrever em ordem decrescente de potências ou como \sqrt{41-12x-4x^{2}}; ambas representam a mesma expressão. Note que, como é uma raiz quadrada, a expressão só faz sentido nos x que tornam o radicando não negativo, mas o enunciado pediu só a expressão.

Passo 6

Agora calculamos g(f(x)). De novo, por definição, substituímos f(x) no lugar de x em g:
g(f(x))=\big(f(x)\big)^{2}+3f(x)-10.
Sabemos que f(x)=\sqrt{1-4x}. Então
\big(f(x)\big)^{2}=\big(\sqrt{1-4x}\big)^{2}=1-4x,
porque a operação de elevar ao quadrado anula a raiz (desde que esteja bem definida). Substituindo:
g(f(x))=(1-4x)+3\sqrt{1-4x}-10.
Simplificando os termos constantes 1-10=-9, obtemos
g(f(x))=-4x-9+3\sqrt{1-4x}.
Aqui também vale notar que essa expressão só está definida para x\le \tfrac{1}{4}, que é o domínio de f, mas o enunciado pediu apenas a expressão.

Resposta

(a) Zeros: x=-5 e x=2.\n g(x)>0 em (-\infty,-5) e em (2,\infty). g(x)<0 em (-5,2).\n(b) Domínio de \dfrac{f}{g}: (-\infty,-5)\cup(-5,\tfrac{1}{4}].\n(c) f(g(x))=\sqrt{-4x^{2}-12x+41}\n g(f(x))=-4x-9+3\sqrt{1-4x}

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