Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L’Hopital se necessário.
(
real positivo)
Passo 1
O enunciado pede
onde
.
O conteúdo é limite no infinito com indeterminação do tipo “ ”, e vamos usar a regra de L’Hôpital.
O conteúdo é limite no infinito com indeterminação do tipo “
Passo 2
Escrevemos
e notamos que, quando
, o numerador
e o denominador
. Logo há indeterminação
, condição para aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Escolhemos um inteiro
tal que
Por exemplo,
. Assim, após
derivações do numerador a potência de
ficará negativa.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital
vezes, a cada passo derivamos numerador e denominador. Sabemos que
Portanto o limite original é igual a
Passo 5
Como
, temos
. Então
quando
, enquanto
. Logo o quociente tende a
.