Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L’Hopital se necessário.
lim x +infty x^lambda e^-x ( lambda real positivo)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+infty x^lambdae^-x,
onde lambda>0.
O conteúdo é limite no infinito com indeterminação do tipo “ infty/infty”, e vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Escrevemos
x^lambdae^-x=x^lambdae^x,
e notamos que, quando xto+infty, o numerador x^lambdato+infty e o denominador e^xto+infty. Logo há indeterminação infty/infty, condição para aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Escolhemos um inteiro k tal que
k>lambda
Por exemplo, k=lfloorlambdarfloor+1. Assim, após k derivações do numerador a potência de x ficará negativa.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital k vezes, a cada passo derivamos numerador e denominador. Sabemos que
d^,kdx^k,x^lambda =(lambda)(lambda-1)cdots(lambda-k+1);x^lambda-k, d^,kdx^k,e^x=e^x
Portanto o limite original é igual a
limxto+infty(lambda)(lambda-1)cdots(lambda-k+1);x^lambda-ke^x

Passo 5

Como k>lambda, temos lambda-k<0. Então x^lambda-k=1/x^,k-lambdato0 quando xto+infty, enquanto e^xto+infty. Logo o quociente tende a 0.

Resposta

0

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