Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L’Hopital se necessário.
lim x 1 x^1 /(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1x^1x-1.
Este é um limite de forma exponencial indeterminada do tipo 1^infty. Vamos usar a transformação com o logaritmo natural e, em seguida, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Defina
L = limxto1x^1x-1
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln L = limxto1ln!l(x^1x-1r) = limxto1ln(x)x-1

Passo 3

Na expressão
limxto1ln(x)x-1
a substituição direta dá a forma 0/0, então aplicamos a regra de L’Hôpital:
limxto1ln(x)x-1 = limxto1ddxln(x)ddx(x-1) = limxto11/x1 = 1
Portanto ln L = 1.

Passo 4

Voltando ao valor de L, exponenciamos:
L = e^ln L = e^1 = e
Logo o limite original é e.

Resposta

e

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