Se 2 xy+e^y=e encontre y ’ no ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
2xy + e^y = e
e pede a derivada y' no ponto (0,1). O conteúdo é derivação implícita, usando a regra do produto para 2xy e a regra da cadeia para e^y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddx(2xy) + ddx(e^y) = ddx(e) = 0

Passo 3

Pela regra do produto,
ddx(2xy) = 2,y + 2x,y',
e pela regra da cadeia,
ddx(e^y) = e^y,y'
Substituindo na relação,
2y + 2x,y' + e^y,y' = 0

Passo 4

Agrupando os termos com y':
2y + (2x + e^y),y' = 0 Longrightarrow y' = -2y2x + e^y

Passo 5

No ponto (x,y)=(0,1) temos
y' = -2cdot12cdot0 + e^1 = -2e

Resposta

y' = -2e

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