Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L’Hopital se necessário.
lim x -infty x^n e^-x ( n inteiro positivo)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -infty x^ne^-x,
onde n é inteiro positivo. O conteúdo envolve limites de funções que combinam polinômios e exponenciais, e podemos usar uma mudança de variável para comparar o crescimento de cada termo.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = -,x,
de modo que quando xto -infty temos tto+infty. Além disso x=-t, portanto
x^ne^-x = (-t)^ne^t = (-1)^n,t^ne^t

Passo 3

Analisamos o comportamento de
t^ne^t
quando tto+infty. Sabemos que a função exponencial cresce muito mais rápido do que qualquer polinômio, logo
limtto+infty t^ne^t = +infty

Passo 4

Voltando à expressão original, temos
limxto -infty x^ne^-x = limtto+infty(-1)^nt^ne^t = (-1)^n,l(limtto+inftyt^ne^tr) = (-1)^n,l(+inftyr)
Como (-1)^n=+1 se n é par e (-1)^n=-1 se n é ímpar, concluímos o sinal do infinito conforme a paridade de n.

Resposta

Para n par: +infty.
Para n ímpar: -infty.

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