Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L’Hopital se necessário.
(
inteiro positivo)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
,
onde é inteiro positivo. O conteúdo envolve limites de funções que combinam polinômios e exponenciais, e podemos usar uma mudança de variável para comparar o crescimento de cada termo.
onde
Passo 2
Fazemos a substituição
de modo que quando
temos
. Além disso
, portanto
Passo 3
Analisamos o comportamento de
quando
. Sabemos que a função exponencial cresce muito mais rápido do que qualquer polinômio, logo
Passo 4
Voltando à expressão original, temos
Como
se
é par e
se
é ímpar, concluímos o sinal do infinito conforme a paridade de
.
Resposta
Para
par:
.
Para ímpar:
.
Para