A integral
integral duplaS(-3 x+2 zx,-3 y+3, e^x y z) cdot d S
em que S é superfície do cilindro x^2+y^2=9 que está entre os planos z=0 e z=3 com orientação para fora do cilindro, é igual a
-144 pi
-126 pi+18
-144 pi-18
-126 pi
-126 pi-18
outro valor.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
integral duplaSl(-3x+tfrac2zx,,-3y+3,,e^xyzr)cdot dvec S
onde S é a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=9 com 0<= z<=3 e orientação para fora. Para resolver, vamos parametrizar diretamente essa superfície e usar a fórmula
integral duplaS Fcdot dvec S =integral duplaD F( r(u,v))cdotl( rutimes rvr),du,dv

Passo 2

Escolhemos parâmetros (theta,z)in[0,2pi]times[0,3] e a parametrização
r(theta,z)=l(3costheta,;3sintheta,;zr)
Para o cilindro lateral, o vetor normal unitário externo é
n=(costheta,;sintheta,;0),
e o elemento de área vale
dS=| rthetatimes rz|,dtheta,dz =3,dtheta,dz

Passo 3

Avaliaremos Fcdot n. Em cada ponto da superfície,
Fx=-3x+2zx=-9costheta+2z3costheta, Fy=-3y+3=-9sintheta+3
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Fcdot n =Fxcostheta+Fysintheta =-9+23z+3sintheta
Multiplicando por dS=3,dtheta,dz, o integrando torna-se
l(-9+tfrac23z+3sinthetar),3 =-27+2z+9sintheta

Passo 4

Agora integramos em z e theta:
integral0^3(-27+2z+9sintheta),dz =-27cdot3+2cdot3^22+9sinthetacdot3 =-81+9+27sintheta =-72+27sintheta
Em seguida,
integral0^2pi(-72+27sintheta),dtheta =-72cdot2pi+27integral0^2pisintheta,dtheta =-144pi+27cdot0 =-144pi

Resposta

-144pi

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