Calcule os seguintes limites, apresentando os cálculos:
lim n infty 4 times 5^n+2^n3 times 5^n+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim n infty 4 times 5^n+2^n3 times 5^n+7
Aqui, estamos trabalhando com progressões exponenciais e limites. Para resolver isso, vamos precisar comparar o crescimento das potências de 5^n e 2^n conforme n vai ficando grande.

Passo 2

Primeiro, observe que quando n cresce, 5^n cresce muito mais rápido que 2^n. Isso significa que, nos termos 4 times 5^n e 3 times 5^n, o 5^n domina o comportamento da expressão.

Passo 3

Vamos dividir o numerador e o denominador por 5^n para simplificar:
4 times 5^n + 2^n3 times 5^n + 7 = 4 + (25)^n3 + 75^n

Passo 4

Agora, analisando cada parte:
  • Quando n infty, (25)^n 0 porque 2/5 < 1.
  • Da mesma forma, 75^n 0 porque 5^n cresce para o infinito.

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão simplificada:
4 + 03 + 0 = 43

Resposta

O limite é 43.

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