\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+z^{3}}{x^{4}+2 y^{2}+z}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede o valor do limite \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+z^{3}}{x^{4}+2y^{2}+z}.
  • A expressão é uma função de três variáveis com numerador x^{4}+y^{2}+z^{3} e denominador x^{4}+2y^{2}+z.
  • O ponto de interesse é (x,y,z)=(0,0,0), onde tanto numerador quanto denominador tendem a 0, então é um caso potencialmente indeterminado.
  • O enunciado não dá mais informações; devemos decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Conceito que vamos usar (passo-a-passo e didático):
  • Em limites de funções de várias variáveis, para o limite em um ponto existir é necessário que qualquer forma de aproximar-se do ponto (por qualquer caminho) dê o mesmo valor.
  • Estratégia prática para mostrar que o limite NÃO existe: encontrar duas curvas (dois caminhos) que tendem a (0,0,0) e que produzam limites diferentes da expressão ao longo desses caminhos. Se houver duas aproximações com valores distintos, o limite global não existe.
  • Observação útil: ao escolher um caminho, devemos garantir que a expressão esteja bem definida (denominador diferente de zero) para pontos próximos ao zero no caminho escolhido, exceto possivelmente no próprio ponto final.

Passo 3

Escolha do primeiro caminho e cálculo:
  • Vamos aproximar por y=0 e z=0, ou seja, pelo eixo x. Então consideramos pontos (x,0,0) com x\to0.
  • Substituindo y=0 e z=0 na expressão obtemos
\frac{x^{4}+0^{2}+0^{3}}{x^{4}+2\cdot0^{2}+0}=\frac{x^{4}}{x^{4}}.
  • Para x\neq0 isso vale exatamente 1. Portanto, ao longo desse caminho o valor da função é 1 para todo x pequeno não nulo, e assim
\lim_{x\to0}\frac{x^{4}+0^{2}+0^{3}}{x^{4}+2\cdot0^{2}+0}=1.
  • Conclusão parcial: limite ao longo do caminho y=0,\\ z=0 é 1.

Passo 4

Escolha do segundo caminho e cálculo:
  • Agora aproximamos por x=0 e z=0, ou seja, pelo eixo y. Consideramos pontos (0,y,0) com y\to0.
  • Substituindo x=0 e z=0 na expressão obtemos
\frac{0^{4}+y^{2}+0^{3}}{0^{4}+2y^{2}+0}=\frac{y^{2}}{2y^{2}}.
  • Para y\neq0 isso vale exatamente \tfrac{1}{2}. Portanto
\lim_{y\to0}\frac{0^{4}+y^{2}+0^{3}}{0^{4}+2y^{2}+0}=\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão parcial: limite ao longo do caminho x=0,\\ z=0 é \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Comparação dos resultados obtidos e conclusão:
  • Pelo Passo 3 obtivemos limite igual a 1 ao longo do eixo x ( y=0,\\ z=0).
  • Pelo Passo 4 obtivemos limite igual a \tfrac{1}{2} ao longo do eixo y ( x=0,\\ z=0).
  • Como dois caminhos que chegam ao mesmo ponto dão valores diferentes ( 1\neq\tfrac{1}{2}), a condição necessária para existência do limite não é satisfeita.
  • Portanto o limite da função quando (x,y,z)\to(0,0,0) NÃO existe.

Resposta

O limite não existe.

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