Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede o valor do limite
. - A expressão é uma função de três variáveis com numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
, onde tanto numerador quanto denominador tendem a , então é um caso potencialmente indeterminado. - O enunciado não dá mais informações; devemos decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Conceito que vamos usar (passo-a-passo e didático):
- Em limites de funções de várias variáveis, para o limite em um ponto existir é necessário que qualquer forma de aproximar-se do ponto (por qualquer caminho) dê o mesmo valor.
- Estratégia prática para mostrar que o limite NÃO existe: encontrar duas curvas (dois caminhos) que tendem a
e que produzam limites diferentes da expressão ao longo desses caminhos. Se houver duas aproximações com valores distintos, o limite global não existe. - Observação útil: ao escolher um caminho, devemos garantir que a expressão esteja bem definida (denominador diferente de zero) para pontos próximos ao zero no caminho escolhido, exceto possivelmente no próprio ponto final.
Passo 3
Escolha do primeiro caminho e cálculo:
- Vamos aproximar por
e , ou seja, pelo eixo . Então consideramos pontos com . - Substituindo
e na expressão obtemos
- Para
isso vale exatamente . Portanto, ao longo desse caminho o valor da função é para todo pequeno não nulo, e assim
- Conclusão parcial: limite ao longo do caminho
é .
Passo 4
Escolha do segundo caminho e cálculo:
- Agora aproximamos por
e , ou seja, pelo eixo . Consideramos pontos com . - Substituindo
e na expressão obtemos
- Para
isso vale exatamente . Portanto
- Conclusão parcial: limite ao longo do caminho
é .
Passo 5
Comparação dos resultados obtidos e conclusão:
- Pelo Passo 3 obtivemos limite igual a
ao longo do eixo ( ). - Pelo Passo 4 obtivemos limite igual a
ao longo do eixo ( ). - Como dois caminhos que chegam ao mesmo ponto dão valores diferentes (
), a condição necessária para existência do limite não é satisfeita. - Portanto o limite da função quando
NÃO existe.
Resposta
O limite não existe.