Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é a razão de um polinômio no numerador e uma potência cúbica de
no denominador. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que . - Não há valores numéricos ou condições adicionais; é uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante arbitrária
.
Passo 2
Escolha do método e substituição útil (motivo didático): aqui é conveniente fazer a troca de variável
porque o denominador já aparece em termos de
. Isso simplifica a integral ao remover a expressão composta no denominador, deixando potências simples de
.
Fazendo a substituição:
Expressar
e
em função de
:
Substituindo na integral (e lembrando que
):
Passo 3
Simplificar a expressão algébrica dividindo termo a termo pelo denominador
. Isso transforma a razão em soma de potências, que são fáceis de integrar:
Portanto a integral fica
Passo 4
Lembrando as regras básicas de integração que vamos usar:
- Para
, . - Para
, .
Aplicando termo a termo:
Somando os resultados e adicionando a constante
:
Passo 5
Voltar para a variável original
substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (derivada da primitiva encontrada) — isso ajuda a confiar no resultado e é bom para a prova:
Calcular a derivada de
Calcular a derivada de
Derivando termo a termo:
Somando:
Expandindo o numerador:
Logo
o que confirma que
é realmente uma primitiva da função dada.