\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{3}}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é a razão de um polinômio no numerador e uma potência cúbica de (x-1) no denominador.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{(x-1)^{3}}.
  • Não há valores numéricos ou condições adicionais; é uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante arbitrária C.

Passo 2

Escolha do método e substituição útil (motivo didático): aqui é conveniente fazer a troca de variável u=x-1 porque o denominador já aparece em termos de (x-1). Isso simplifica a integral ao remover a expressão composta no denominador, deixando potências simples de u.
Fazendo a substituição:
u = x-1 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Expressar x e x^{2} em função de u:
x = u+1,\qquad x^{2} = (u+1)^{2} = u^{2}+2u+1.
Substituindo na integral (e lembrando que dx=du):
\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{3}}\,dx = \int \frac{u^{2}+2u+1}{u^{3}}\,du.

Passo 3

Simplificar a expressão algébrica dividindo termo a termo pelo denominador u^{3}. Isso transforma a razão em soma de potências, que são fáceis de integrar:
\frac{u^{2}+2u+1}{u^{3}} = \frac{u^{2}}{u^{3}} + \frac{2u}{u^{3}} + \frac{1}{u^{3}} = u^{-1} + 2u^{-2} + u^{-3}.
Portanto a integral fica
\int \frac{x^{2}}{(x-1)^{3}}\,dx = \int \left( u^{-1} + 2u^{-2} + u^{-3} \right)\,du.

Passo 4

Lembrando as regras básicas de integração que vamos usar:
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
  • Para n=-1, \displaystyle \int u^{-1}\,du = \ln|u| + C.
Aplicando termo a termo:
\int u^{-1}\,du = \ln|u|,
\int 2u^{-2}\,du = 2\int u^{-2}\,du = 2\cdot\frac{u^{-1}}{-1} = -2u^{-1},
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}u^{-2}.
Somando os resultados e adicionando a constante C:
\int \left( u^{-1} + 2u^{-2} + u^{-3} \right)\,du = \ln|u| - 2u^{-1} - \frac{1}{2}u^{-2} + C.

Passo 5

Voltar para a variável original x substituindo u=x-1:
\ln|u| - 2u^{-1} - \frac{1}{2}u^{-2} + C = \ln|x-1| - \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivada da primitiva encontrada) — isso ajuda a confiar no resultado e é bom para a prova:
Calcular a derivada de
F(x)=\ln|x-1| - \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^{2}}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\ln|x-1| = \frac{1}{x-1},
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{x-1}\right) = -2\cdot\left(-(x-1)^{-2}\right) = \frac{2}{(x-1)^{2}},
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2(x-1)^{2}}\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-2)(x-1)^{-3} = \frac{1}{(x-1)^{3}}.
Somando:
F'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(x-1)^{3}} = \frac{(x-1)^{2}+2(x-1)+1}{(x-1)^{3}}.
Expandindo o numerador:
(x-1)^{2}+2(x-1)+1 = (x^{2}-2x+1)+(2x-2)+1 = x^{2}.
Logo
F'(x)=\frac{x^{2}}{(x-1)^{3}},
o que confirma que F(x) é realmente uma primitiva da função dada.

Resposta

\ln|x-1|-\frac{2}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^{2}}+C

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