Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LHospital:
lim x 3 raizx+6-raiz3 xx^3-7 x^2+12 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto3raizx+6-raiz3xx^3-7x^2+12x. Como ao substituir x=3 tanto o numerador quanto o denominador dão zero, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hospital, que diz que em casos de indeterminação 0/0 podemos trocar o limite da razão pelas derivadas do numerador e do denominador, desde que as derivadas existam por perto do ponto.

Passo 2

Derivando o numerador e o denominador, obtemos segundo a regra de L’Hospital:
f(x)=raizx+6-raiz3xLongrightarrow f'(x)=12raizx+6-32raiz3x
g(x)=x^3-7x^2+12xLongrightarrow g'(x)=3x^2-14x+12

Passo 3

Agora substituímos x=3 nessas derivadas para calcular o novo limite:
No numerador:
f'(3)=12raiz9-32raiz9=16-36=-26=-13
No denominador:
g'(3)=3cdot9-14cdot3+12=27-42+12=-3
Logo o limite é
f'(3)g'(3)=-tfrac13-3=19

Resposta

1/9

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