Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LHospital:
lim x pi cos ^3(x / 2)sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite lim x pi cos ^3(x / 2)sen(x). Esse tipo de problema envolve Cálculo de Limites e vai precisar que a gente use a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar saber derivar funções trigonométricas e entender quando e como aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de pi.
  • Numerador: cos^3(x/2). Quando x = pi, x/2 = pi/2, e sabemos que cos(pi/2) = 0. Então, cos^3(pi/2) = 0.
  • Denominador: . Quando sen(x), .
Então, temos uma forma indeterminada x = pi, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite das derivadas:
limx to a f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador: f(x) = cos^3(x/2)
Usando a regra da cadeia:
  • Derivada do denominador:
f'(x) = 3 cos^2(x/2) cdot (-sen(x/2) cdot 12) = -32 cos^2(x/2) sen(x/2)

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 6

Vamos simplificar e calcular esse novo limite. Substituímos x por pi:
  • cos(pi/2) = 0, então cos^2(pi/2) = 0
  • sen(pi/2) = 1
Substituindo:
cos(pi) = -1

Resposta

O limite é igual a 0.

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