Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LHospital:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
. Esse tipo de problema envolve Cálculo de Limites e vai precisar que a gente use a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar saber derivar funções trigonométricas e entender quando e como aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
. Quando , , e sabemos que . Então, . -
Denominador: . Quando
, .
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso no nosso caso.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
- Derivada do numerador:
Usando a regra da cadeia:
- Derivada do denominador:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 6
Vamos simplificar e calcular esse novo limite. Substituímos
por
:
-
, então -
Substituindo:
Resposta
O limite é igual a 0.