Resolva o problema em coordenadas esféricas abaixo, supondo que u seja limitada e que não dependa de theta.
l De

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a equação de Laplace, que é De, em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas usam três parâmetros: rho (a distância do ponto à origem), phi (o ângulo polar) e theta (o ângulo azimutal). No nosso caso, a solução u não depende de theta, ou seja, u = u(rho, phi). A gente também tem a condição de contorno u(2, phi) = sin^2 phi para 0 < phi < pi e queremos que u seja limitada, o que significa que não pode crescer sem controle quando rho aumenta.
Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais em coordenadas esféricas, especificamente a solução geral da equação de Laplace quando a função não depende de theta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas esféricas para uma função que não depende de theta. A equação geral de Laplace em coordenadas esféricas é:
De
Como u não depende de theta, a equação simplifica para:
1rho^2 partialpartial rho( rho^2 partial upartial rho ) + 1rho^2 sin phi partialpartial phi( sin phi partial upartial phi ) = 0

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de rho e apenas de phi:
u(rho, phi) = R(rho) Phi(phi)
Substituindo na equação de Laplace:
1rho^2 [ Phi(phi) dd rho( rho^2 dRd rho ) ] + 1rho^2 sin phi [ R(rho) dd phi( sin phi dPhid phi ) ] = 0
Dividindo ambos os lados por R(rho)Phi(phi):
1R rho^2 dd rho( rho^2 dRd rho ) + 1Phi rho^2 sin phi dd phi( sin phi dPhid phi ) = 0
Multiplicando por rho^2:
1R dd rho( rho^2 dRd rho ) + 1Phi sin phi dd phi( sin phi dPhid phi ) = 0
Como o lado esquerdo depende só de rho e o lado direito só de phi, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamamos de lambda. Então, temos duas equações:
1R dd rho( rho^2 dRd rho ) = lambda
1Phi sin phi dd phi( sin phi dPhid phi ) = -lambda

Passo 4

Vamos resolver a equação para Phi(phi). A equação diferencial é:
1sin phi dd phi( sin phi dPhid phi ) + lambda Phi = 0
Essa é a equação dos polinômios de Legendre. As soluções são os polinômios de Legendre Pl(cos phi), e os valores de lambda são lambda = l(l+1), onde l é um número inteiro não negativo.
Então, temos:
Phil(phi) = Pl(cos phi)
e
lambdal = l(l+1)

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para R(rho) com lambda = l(l+1):
dd rho( rho^2 dRd rho ) - l(l+1) R = 0
A solução geral dessa equação é uma combinação de potências de rho:
R(rho) = A rho^l + B rho^-(l+1)
Mas, como queremos que u seja limitada quando rho to 0, descartamos a solução que tende ao infinito, ou seja, B = 0. Então,
R(rho) = A rho^l

Passo 6

Juntando R(rho) e Phil(phi), a solução geral para cada l é:
ul(rho, phi) = Al rho^l Pl(cos phi)
A solução completa é a soma de todas essas soluções para l = 0, 1, 2, dots:
u(rho, phi) = suml=0^infty Al rho^l Pl(cos phi)

Passo 7

Agora, aplicamos a condição de contorno u(2, phi) = sin^2 phi. Sabemos que sin^2 phi pode ser expressa em termos dos polinômios de Legendre. Vamos usar a expansão em série de Legendre para sin^2 phi:
sin^2 phi = 23 [ 1 - P2(cos phi) ]
Então, a condição de contorno fica:
suml=0^infty Al (2)^l Pl(cos phi) = 23 - 23 P2(cos phi)
Isso significa que apenas os termos l=0 e l=2 têm coeficientes não nulos. Portanto,
A0 2^0 = 23 implies A0 = 23
A2 2^2 = -23 implies A2 = -23 cdot 4 = -16

Passo 8

Substituindo os coeficientes encontrados na solução geral:
u(rho, phi) = 23 P0(cos phi) rho^0 + (-16) rho^2 P2(cos phi)
Sabendo que P0(cos phi) = 1 e P2(cos phi) = 12(3 cos^2 phi - 1), temos:
u(rho, phi) = 23 - 16 rho^2 ( 3 cos^2 phi - 12 )
Simplificando:
u(rho, phi) = 23 - rho^212 (3 cos^2 phi - 1) = 23 - rho^24 cos^2 phi + rho^212
u(rho, phi) = 23 + rho^212 - rho^24 cos^2 phi

Resposta

A solução da equação de Laplace dada é:
u(rho, phi) = 23 - rho^24 cos^2 phi

Exercícios relacionados