Resolva o problema em coordenadas esféricas abaixo, supondo que
seja limitada e que não dependa de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a equação de Laplace, que é
, em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas usam três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo polar) e
(o ângulo azimutal). No nosso caso, a solução
não depende de
, ou seja,
. A gente também tem a condição de contorno
para
e queremos que
seja limitada, o que significa que não pode crescer sem controle quando
aumenta.
Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais em coordenadas esféricas, especificamente a solução geral da equação de Laplace quando a função não depende de
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas esféricas para uma função que não depende de
. A equação geral de Laplace em coordenadas esféricas é:
Como
não depende de
, a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de
e apenas de
:
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando por
:
Como o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamamos de
. Então, temos duas equações:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
. A equação diferencial é:
Essa é a equação dos polinômios de Legendre. As soluções são os polinômios de Legendre
, e os valores de
são
, onde
é um número inteiro não negativo.
Então, temos:
e
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
com
:
A solução geral dessa equação é uma combinação de potências de
:
Mas, como queremos que
seja limitada quando
, descartamos a solução que tende ao infinito, ou seja,
. Então,
Passo 6
Juntando
e
, a solução geral para cada
é:
A solução completa é a soma de todas essas soluções para
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição de contorno
. Sabemos que
pode ser expressa em termos dos polinômios de Legendre. Vamos usar a expansão em série de Legendre para
:
Então, a condição de contorno fica:
Isso significa que apenas os termos
e
têm coeficientes não nulos. Portanto,
Passo 8
Substituindo os coeficientes encontrados na solução geral:
Sabendo que
e
, temos:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação de Laplace dada é: