Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LHospital:
lim x 0^+(2 x^2+x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+(2x^2+x)^x. Isso é um caso de indeterminação 0^0. Vamos usar propriedades de logaritmo e depois recorrer à regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos y=(2x^2+x)^x e estudamos ln y = xln(2x^2+x). Note que, quando xto0^+, temos xto0 e ln(2x^2+x)to-infty, ou seja, aparece uma forma 0cdot(-infty).
Para usar L’Hôpital, reescrevemos
ln y = xln(2x^2+x) = ln(2x^2+x)1/x

Passo 3

Agora, quando xto0^+, o numerador ln(2x^2+x)to-infty e o denominador 1/xto+infty, formando -infty/infty. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limxto0^+ln(2x^2+x)1/x = limxto0^+ddx[ln(2x^2+x)]ddx[1/x]

Passo 4

Calculando derivadas:
ddx[ln(2x^2+x)] = 4x+12x^2+x, ddx[1/x] = -1x^2

Passo 5

Então o limite vira
limxto0^+(4x+1)/(2x^2+x)-1/x^2 = -limxto0^+(4x+1)x^22x^2+x = -limxto0^+4x^3+x^2x(2x+1) = -limxto0^+x(4x+1)2x+1

Passo 6

Ao substituir x=0 nessa expressão obtemos 0. Logo ln yto0, o que implica yto e^0=1.

Resposta

1

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