Encontre a solução limitada e que não dependa de para o Problema de Laplace em um hemisfério.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas esféricas num hemisfério de raio 1, assumindo solução independente de θ. Vamos usar separação de variáveis em coordenadas esféricas e a expansão em harmônicos esféricos (polinômios de Legendre) para achar uma solução limitada (no interior) que satisfaça as condições de contorno dadas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas (ρ,φ,θ) e assumindo independência de θ, a equação de Laplace fica
De
Pela teoria de separação, a solução geral limitada em ρ=0 é u(rho,phi)=sumn=0^inftyan,rho^n,Pn(cosphi),
onde Pn são os polinômios de Legendre de grau n.
Passo 3
Aplicamos a condição de contorno no disco (plano equatorial) φ=π/2: para todo 0<ρ<1 deve valer u(rho,tfracpi2)=0. Como Pn(0)=0 apenas para n ímpar, concluímos que an=0 se n é par. Logo restam só termos ímpares:
Agora usamos a condição de contorno no hemisfério ρ=1: para 0<φ<π/2 vale u(1,phi)=100. Logo
sumk=0^inftya2k+1,P2k+1(cosphi)=100
Para determinar os coeficientes a2k+1, extendemos a função de contorno de modo ímpar em relação à superfície equatorial, obtendo uma função em todo 0<φ<π que é 100 em [0,π/2] e -100 em (π/2,π]. Usando a ortogonalidade dos Pn em [0,π] com peso sinφ, chega-se a a2k+1=100,(4k+3)integral0^1P2k+1(t),dt
Passo 5
Assim concluímos que a solução pedida é a série infinita
u(rho,phi)=100sumk=0^infty(4k+3)l(integral0^1P2k+1(t),dtr)rho^2k+1,P2k+1(cosphi),
o que é limitada em ρ=0, independente de θ, zera em φ=π/2 e vale 100 em ρ=1 para 0<φ<π/2.