Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{1-e^{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é x. Em x=0 temos x=0.
  • O denominador é 1-e^{x}. Em x=0 temos 1-e^{0}=1-1=0.
  • Logo, ao substituir x=0 obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}.

Passo 2

Apresentando a regra que vamos usar (L’Hospital) de forma didática.
Teorema (Regra de L’Hospital, versão para a forma 0/0): sejam f e g funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto a (exceto possivelmente em a mesmo), tais que
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e g'(x)\neq 0 perto de a (exceto possivelmente em a). Então, se o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (é finito) ou é infinito, vale
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Explicando cada símbolo:
  • f(x) e g(x) são as funções do numerador e do denominador.
  • f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g em relação a x.
  • a é o ponto para o qual x tende (aqui a=0).
A ideia intuitiva: quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, a razão pode ser obtida comparando as taxas de variação (derivadas) de cada um.

Passo 3

Verificação das hipóteses da regra para o nosso caso.
Definimos
f(x)=x,\qquad g(x)=1-e^{x},\qquad a=0.
  • Como observado no Passo 1, \lim_{x\to 0} f(x)=0 e \lim_{x\to 0} g(x)=0.
  • Ambas são diferenciáveis em toda parte (polinômio e exponencial são diferenciáveis).
  • A derivada de g é g'(x)=-e^{x}, que é diferente de zero para todo x (pois e^{x}>0 sempre). Portanto g'(x)\neq 0 em uma vizinhança de 0.
    Portanto todas as hipóteses da regra de L’Hospital estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicando L’Hospital: calculamos as derivadas de f e g.
Derivadas:
f'(x)=1, \qquad g'(x)=-e^{x}.
Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\frac{x}{1-e^{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{-e^{x}}.

Passo 5

Avaliação do limite resultante.
Como e^{x} é contínua e e^{0}=1, temos
\lim_{x\to 0}\frac{1}{-e^{x}}=\frac{1}{-e^{0}}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição pelo polinômio de Taylor) — útil para checar o resultado.
Expansão de e^{x} perto de 0:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots.
Então
1-e^{x}=-(x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots)=-x\left(1+\tfrac{x}{2}+\cdots\right).
Assim
\frac{x}{1-e^{x}}=\frac{x}{-x\left(1+\tfrac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}+\cdots}\xrightarrow[x\to 0]{} -1,
o que confirma a resposta obtida por L’Hospital.

Resposta

-1

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