Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
. Em temos . - O denominador é
. Em temos . - Logo, ao substituir
obtemos a forma indeterminada .
Passo 2
Apresentando a regra que vamos usar (L’Hospital) de forma didática.
Teorema (Regra de L’Hospital, versão para a forma
): sejam
e
funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto
(exceto possivelmente em
mesmo), tais que
e
perto de
(exceto possivelmente em
). Então, se o limite
existe (é finito) ou é infinito, vale
Explicando cada símbolo:
-
e são as funções do numerador e do denominador. -
e são as derivadas de e em relação a . -
é o ponto para o qual tende (aqui ).
A ideia intuitiva: quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, a razão pode ser obtida comparando as taxas de variação (derivadas) de cada um.
Passo 3
Verificação das hipóteses da regra para o nosso caso.
Definimos
- Como observado no Passo 1,
e . - Ambas são diferenciáveis em toda parte (polinômio e exponencial são diferenciáveis).
- A derivada de
é , que é diferente de zero para todo (pois sempre). Portanto em uma vizinhança de .
Portanto todas as hipóteses da regra de L’Hospital estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicando L’Hospital: calculamos as derivadas de
e
.
Derivadas:
Pela regra de L’Hospital,
Passo 5
Avaliação do limite resultante.
Como
é contínua e
, temos
Passo 6
Verificação alternativa (intuição pelo polinômio de Taylor) — útil para checar o resultado.
Expansão de
perto de
:
Então
Assim
o que confirma a resposta obtida por L’Hospital.