Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e pontos importantes a observar:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O limite é quando
tende a . - Vamos verificar se o quociente apresenta uma forma indeterminada ao substituir
.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra de L’Hospital. Vou explicar bem devagar e com exemplos leves para você sentir segurança.
Enunciado da regra (versão útil aqui):
Sejam e
funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e se
Sejam
ou ambas tendem a
, e se o limite
existe (ou é
), então
O que isso significa na prática: quando temos uma indeterminação do tipo
(ou
), às vezes é mais fácil calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Para aplicar, é preciso:
- confirmar a indeterminação,
- garantir que
e são diferenciáveis perto de , - calcular as derivadas e então o limite do quociente das derivadas.
Exemplo rápido (fora do problema): para
temos
; derivadas dão
e no limite
obtemos
.
Passo 3
Vamos verificar a forma indeterminada substituindo
.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Logo, o quociente tem a forma
, uma indeterminação adequada para aplicar a regra de L’Hospital. As funções envolvidas são differentiáveis (funções exponenciais e polinômios), então podemos prosseguir.
Passo 4
Aplicar L’Hospital: derivar numerador e denominador separadamente.
Numerador
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é (porque e multiplicador constante sai).
Portanto
Denominador
.
- Aqui usamos a regra do produto: se
e , então . -
, .
Logo
Pelo enunciado da regra:
Passo 5
Simplificar o quociente das derivadas e avaliar o limite.
No quociente
podemos cancelar
(para todo
,
), ficando
Essa é uma função contínua perto de
, então basta substituir
:
Portanto o limite pedido é
.