Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4-4 e^{x}}{x e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{4-4e^{x}}{x e^{x}}.
Informações dadas e pontos importantes a observar:
  • A função no numerador é 4-4e^{x}.
  • A função no denominador é x e^{x}.
  • O limite é quando x tende a 0.
  • Vamos verificar se o quociente apresenta uma forma indeterminada ao substituir x=0.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra de L’Hospital. Vou explicar bem devagar e com exemplos leves para você sentir segurança.
Enunciado da regra (versão útil aqui):
Sejam f e g funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e se
\lim_{x\to a} f(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas tendem a \pm\infty, e se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
O que isso significa na prática: quando temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} (ou \tfrac{\infty}{\infty}), às vezes é mais fácil calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Para aplicar, é preciso:
  • confirmar a indeterminação,
  • garantir que f e g são diferenciáveis perto de a,
  • calcular as derivadas e então o limite do quociente das derivadas.
Exemplo rápido (fora do problema): para \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} temos 0/0; derivadas dão \cos x/1 e no limite x\to0 obtemos 1.

Passo 3

Vamos verificar a forma indeterminada substituindo x=0.
Calcular o numerador em x=0:
4-4e^{0}=4-4\cdot 1=0.
Calcular o denominador em x=0:
0\cdot e^{0}=0\cdot 1=0.
Logo, o quociente tem a forma \tfrac{0}{0}, uma indeterminação adequada para aplicar a regra de L’Hospital. As funções envolvidas são differentiáveis (funções exponenciais e polinômios), então podemos prosseguir.

Passo 4

Aplicar L’Hospital: derivar numerador e denominador separadamente.
Numerador f(x)=4-4e^{x}.
  • Derivada de 4 é 0.
  • Derivada de -4e^{x} é -4e^{x} (porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e multiplicador constante sai).
    Portanto
f'(x)=-4e^{x}.
Denominador g(x)=x e^{x}.
  • Aqui usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=e^{x}, então (uv)'=u'v+uv'.
  • u'(x)=1, v'(x)=e^{x}.
    Logo
g'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Pelo enunciado da regra:
\lim_{x\to 0}\frac{4-4e^{x}}{x e^{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{-4e^{x}}{e^{x}(1+x)}.

Passo 5

Simplificar o quociente das derivadas e avaliar o limite.
No quociente \dfrac{-4e^{x}}{e^{x}(1+x)} podemos cancelar e^{x} (para todo x, e^{x}\neq 0), ficando
\frac{-4}{1+x}.
Essa é uma função contínua perto de x=0, então basta substituir x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{-4}{1+x}=\frac{-4}{1+0}=-4.
Portanto o limite pedido é -4.

Resposta

-4

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