Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede claramente para calcular o limite quando x tende a infinito da função
\frac{e^{x}}{x^{3}}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é e^{x}.
  • A função no denominador é x^{3}.
  • O ponto de interesse é x \rightarrow \infty.
    O que se pede: determinar o valor de \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{3}}.

Passo 2

Vamos verificar a forma indeterminada. Ao fazermos x\to\infty temos:
  • \displaystyle e^{x}\to\infty,
  • \displaystyle x^{3}\to\infty.
    Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty. Isso justifica usar a regra de L’Hospital.
Breve explicação da regra de L’Hospital (na prática): se \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} é da forma 0/0 ou \infty/\infty, e f e g são diferenciáveis numa vizinhança (exceto talvez no ponto a), e g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty). Podemos aplicar a regra repetidas vezes se o quociente obtido continuar numa forma indeterminada.
No nosso caso f(x)=e^{x} e g(x)=x^{3} são diferenciáveis em toda a reta, e as derivadas que vamos obter satisfazem as condições necessárias (por exemplo g'(x)=3x^{2} não é zero para x\neq 0, e para grandes x isso não é problema). Então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital uma vez, derivamos numerador e denominador:
  • f'(x) = \dfrac{d}{dx}e^{x} = e^{x},
  • g'(x) = \dfrac{d}{dx}x^{3} = 3x^{2}.
Pelo teorema,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{3x^{2}}.
Ainda temos forma \infty/\infty (pois e^{x}\to\infty e 3x^{2}\to\infty), então podemos aplicar L’Hospital de novo.

Passo 4

Aplicando L’Hospital pela segunda vez, derivamos de novo numerador e denominador:
  • derivada do numerador continua e^{x},
  • derivada de 3x^{2} é 6x.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{3x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{6x}.
Ainda é forma \infty/\infty, então aplicamos L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Aplicando L’Hospital pela terceira vez:
  • derivada do numerador: e^{x},
  • derivada de 6x: 6.
Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{6x} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{6}.

Passo 6

Agora observamos que \displaystyle \lim_{x\to\infty}e^{x}=+\infty e o denominador 6 é constante. Logo o limite à direita diverge para +\infty. Como cada aplicação de L’Hospital manteve a igualdade dos limites, o limite original é igual a esse limite final:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{6}.

Resposta

+\infty

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