Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede claramente para calcular o limite quando
tende a infinito da função
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O que se pede: determinar o valor de.
Passo 2
Vamos verificar a forma indeterminada. Ao fazermos
temos:
-
, -
.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada. Isso justifica usar a regra de L’Hospital.
Breve explicação da regra de L’Hospital (na prática): se
é da forma
ou
, e
e
são diferenciáveis numa vizinhança (exceto talvez no ponto
), e
perto de
, então
se o limite do lado direito existir (ou for
). Podemos aplicar a regra repetidas vezes se o quociente obtido continuar numa forma indeterminada.
No nosso caso
e
são diferenciáveis em toda a reta, e as derivadas que vamos obter satisfazem as condições necessárias (por exemplo
não é zero para
, e para grandes
isso não é problema). Então podemos aplicar L’Hospital.
Passo 3
Aplicando L’Hospital uma vez, derivamos numerador e denominador:
-
, -
.
Pelo teorema,
Ainda temos forma
(pois
e
), então podemos aplicar L’Hospital de novo.
Passo 4
Aplicando L’Hospital pela segunda vez, derivamos de novo numerador e denominador:
- derivada do numerador continua
, - derivada de
é .
Portanto
Ainda é forma
, então aplicamos L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Aplicando L’Hospital pela terceira vez:
- derivada do numerador:
, - derivada de
: .
Assim
Passo 6
Agora observamos que
e o denominador
é constante. Logo o limite à direita diverge para
. Como cada aplicação de L’Hospital manteve a igualdade dos limites, o limite original é igual a esse limite final: