Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
-
. -
quando .
Logo a forma do quociente quandoé , que é uma indeterminação. Isso permite o uso da regra de L’Hospital.
Passo 2
Breve aula sobre a regra de L’Hospital (versão usada aqui):
Sejam e
funções diferenciáveis em um intervalo (exceto, possivelmente, em um ponto) e se
Sejam
ou ambas tendem a
, e se
perto de
(exceto talvez em
), então, se existir,
Em palavras: quando temos
(ou
), podemos tomar derivadas do numerador e do denominador e calcular o limite do quociente das derivadas. Atenção: deve-se verificar que após derivar a forma não deixa de ser válida (por exemplo, não virar uma expressão com divisão por zero sem sentido).
Passo 3
Aplicando L’Hospital ao nosso limite: tomar derivada de cima e de baixo.
Derivada do numerador: .
Derivada do denominador: .
Pelo enunciado da regra, temos
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Pelo enunciado da regra, temos
Passo 4
Agora examinar o novo limite
.
- Quando
, . - Quando
, , e para a quantidade é sempre positiva (pois é proporcional a ).
Portanto o quocienteaproxima-se de , ou seja, cresce sem limite para .
Assim
Observação sobre lateralidade: como
tanto para
quanto para
, o sinal do quociente é positivo em ambos os lados de zero (já que
permanece próximo de
), então o limite bilateral é
.
Passo 5
(Verificação alternativa e intuição) Usando a série de Taylor de
em torno de
:
Dividindo por
obtemos
e como
quando
, isso confirma a conclusão anterior. Exemplo numérico rápido: para
tem-se
aproximadamente
, já grande e positivo.