Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • \operatorname{sen}(0)=0.
  • x^{3}\to 0 quando x\to 0.
    Logo a forma do quociente quando x\to 0 é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso permite o uso da regra de L’Hospital.

Passo 2

Breve aula sobre a regra de L’Hospital (versão usada aqui):
Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo (exceto, possivelmente, em um ponto) e se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas tendem a \pm\infty, e se g'(x)\neq 0 perto de a (exceto talvez em a), então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Em palavras: quando temos \tfrac{0}{0} (ou \tfrac{\infty}{\infty}), podemos tomar derivadas do numerador e do denominador e calcular o limite do quociente das derivadas. Atenção: deve-se verificar que após derivar a forma não deixa de ser válida (por exemplo, não virar uma expressão com divisão por zero sem sentido).

Passo 3

Aplicando L’Hospital ao nosso limite: tomar derivada de cima e de baixo.
Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Pelo enunciado da regra, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{3x^{2}}.

Passo 4

Agora examinar o novo limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{3x^{2}}.
  • Quando x\to 0, \cos(x)\to 1.
  • Quando x\to 0, 3x^{2}\to 0, e para x\neq 0 a quantidade 3x^{2} é sempre positiva (pois é proporcional a x^{2}).
    Portanto o quociente \dfrac{\cos(x)}{3x^{2}} aproxima-se de \dfrac{1}{\text{um número que tende a }0^{+}}ú, ou seja, cresce sem limite para +\infty.
    Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{3x^{2}}=+\infty.
Observação sobre lateralidade: como x^{2}>0 tanto para x>0 quanto para x<0, o sinal do quociente é positivo em ambos os lados de zero (já que \cos(x) permanece próximo de 1>0), então o limite bilateral é +\infty.

Passo 5

(Verificação alternativa e intuição) Usando a série de Taylor de \operatorname{sen}(x) em torno de 0:
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}).
Dividindo por x^{3} obtemos
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{6}+o(1),
e como \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty quando x\to 0, isso confirma a conclusão anterior. Exemplo numérico rápido: para x=0,1 tem-se \dfrac{\operatorname{sen}(0,1)}{(0,1)^{3}} aproximadamente \dfrac{0,0998}{0,001}=99,8, já grande e positivo.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados