Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} x\ln(x).
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função \ln(x) está definida apenas para x>0. Portanto o único limite possível ao escrever \lim_{x\to 0} aqui é o limite pela direita, isto é \lim_{x\to 0^+}.
  • Para x\to 0^+ temos que x\to 0 e \ln(x)\to -\infty. Assim a expressão x\ln(x) tem a forma do tipo 0\cdot(-\infty), que é uma forma indeterminada — não dá para concluir o valor do produto sem manipular.

Passo 2

Por que usar a regra de L’Hospital e o que ela diz (explicação didática)?
  • A regra de L’Hospital ajuda a calcular limites quando a expressão pode ser escrita como uma razão que tem forma indeterminada \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.
  • Enunciado (versão intuitiva): se para x\to a temos \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos infinitos) e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0, então, se o limite \lim_{x\to a}\tfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • A ideia prática: transformar a expressão num quociente apropriado e depois substituir o quociente pelo quociente das derivadas, o que normalmente é mais simples de avaliar.
  • Regras de derivação usadas aqui: a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} e a derivada de 1/x é -\dfrac{1}{x^{2}}. Vou usar e explicar essas derivadas quando for aplicá-las.

Passo 3

Transformar o produto numa razão para aplicar L’Hospital:
x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}.
Agora analisamos os limites das partes quando x\to 0^+:
  • \ln(x)\to -\infty.
  • 1/x\to +\infty.
    Então o quociente \dfrac{\ln(x)}{1/x} tem forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, ou seja uma forma do tipo \dfrac{\infty}{\infty} (sinal negativo não impede o uso). Logo podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando L’Hospital: derivar numerador e denominador.
  • Derivada do numerador \ln(x) é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador 1/x é -\dfrac{1}{x^{2}}.
    Pelo teorema,
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}.
Agora simplificamos a fração das derivadas passo a passo:
\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right) = - x.

Passo 5

Avaliar o limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to 0^+} (-x)=0.
Comentário intuitivo final: para x muito pequeno e positivo, \ln(x) é grande e negativo, mas multiplica um x que é muito pequeninho; o fator x “vence” e a combinação vai a 0. Observação sobre sinal: para x>0 pequenos a expressão é negativa, então tende a 0 pela esquerda (ou seja aproximando-se de 0 com valores negativos), mas o valor do limite numérico é 0.

Resposta

0

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