Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função
está definida apenas para . Portanto o único limite possível ao escrever aqui é o limite pela direita, isto é . - Para
temos que e . Assim a expressão tem a forma do tipo , que é uma forma indeterminada — não dá para concluir o valor do produto sem manipular.
Passo 2
Por que usar a regra de L’Hospital e o que ela diz (explicação didática)?
- A regra de L’Hospital ajuda a calcular limites quando a expressão pode ser escrita como uma razão que tem forma indeterminada
ou . - Enunciado (versão intuitiva): se para
temos e (ou ambos infinitos) e e são diferenciáveis perto de com , então, se o limite existe (ou é ), vale
- A ideia prática: transformar a expressão num quociente apropriado e depois substituir o quociente pelo quociente das derivadas, o que normalmente é mais simples de avaliar.
- Regras de derivação usadas aqui: a derivada de
é e a derivada de é . Vou usar e explicar essas derivadas quando for aplicá-las.
Passo 3
Transformar o produto numa razão para aplicar L’Hospital:
Agora analisamos os limites das partes quando
:
-
. -
.
Então o quocientetem forma , ou seja uma forma do tipo (sinal negativo não impede o uso). Logo podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando L’Hospital: derivar numerador e denominador.
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Pelo teorema,
Agora simplificamos a fração das derivadas passo a passo:
Passo 5
Avaliar o limite da expressão simplificada:
Comentário intuitivo final: para
muito pequeno e positivo,
é grande e negativo, mas multiplica um
que é muito pequeninho; o fator
“vence” e a combinação vai a
. Observação sobre sinal: para
pequenos a expressão é negativa, então tende a
pela esquerda (ou seja aproximando-se de
com valores negativos), mas o valor do limite numérico é
.