Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(3 x)}{5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{5x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{5x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Ao avaliar diretamente em x=0: \operatorname{sen}^{2}(3\cdot 0)=0 e 5\cdot 0^{2}=0, portanto a forma é 0/0 — uma forma indeterminada.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (o enunciado pede uso das regras de L’Hospital). Vou aplicar a regra de L’Hospital porque a expressão tem a forma indeterminada 0/0. Antes de aplicar, recapitulo a regra e coisas que vou usar:
  • Regra de L’Hospital (versão prática): Se f(x) e g(x) são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), g'(x)\neq 0 perto de a e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
então, se existir o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
(É preciso checar a existência do limite dos derivadas.)
  • Regras de diferenciação que usarei:
    • \dfrac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x) (regra da cadeia).
    • \dfrac{d}{dx}\big(u(x)^2\big)=2u(x)\,u'(x).
  • Limite trigonométrico fundamental (útil depois):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou aplicar L’Hospital uma vez e usar o limite fundamental para avaliar o resultado.

Passo 3

Verificação da indeterminação e preparação para derivar.
  • Numerador em x\to 0: \operatorname{sen}^{2}(3x)\to 0.
  • Denominador em x\to 0: 5x^{2}\to 0.
  • Como é 0/0, a regra de L’Hospital pode ser aplicada.
Defino f(x)=\operatorname{sen}^{2}(3x) e g(x)=5x^{2}.

Passo 4

Aplicação da regra de L’Hospital: calcular f'(x) e g'(x).
  • Para f(x)=\operatorname{sen}^{2}(3x) uso a regra da cadeia e a derivada de seno:
    f'(x)=2\operatorname{sen}(3x)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x) =2\operatorname{sen}(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3.
    Portanto
    f'(x)=6\operatorname{sen}(3x)\cos(3x).
    Observação útil (identidade trigonométrica): 2\sin a\cos a=\sin(2a). Com isso 6\sin(3x)\cos(3x)=3\sin(6x), se quiser simplificar depois.
  • Para g(x)=5x^{2}:
    g'(x)=10x.
Pela regra de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{5x^{2}} =\lim_{x\to 0}\frac{6\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)}{10x}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida e avaliar o limite.
A expressão pode ser simplificada em fatores constantes:
\frac{6}{10}=\frac{3}{5},
então
\lim_{x\to 0}\frac{6\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)}{10x} =\frac{3}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)}{x}.
Agora separe a parte que conhecemos:
\frac{\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)}{x} =\left(\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}\right)\cos(3x).
Avalio os limites ao produto:
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\cos(3x)=\cos 0=1.
  • Para \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x} uso o limite fundamental. Reescrevo: \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\cdot 3.Como \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 (aqui u=3x\to 0), segue que \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1,logo \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=3.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)}{x}=3\cdot 1=3.
Multiplicando pelo fator \dfrac{3}{5}:
\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{9}{5}.

Passo 6

Comentário didático rápido (maneira alternativa e mais curta, útil para prova):
Reescrevendo diretamente
\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{5x^{2}} =\left(\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\right)^{2}\cdot\frac{9}{5}.
Como \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1, o limite é \dfrac{9}{5}. Essa via evita derivadas e é frequentemente a mais rápida em provas, mas a aplicação de L’Hospital que fiz acima dá o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{9}{5}

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