Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a ser avaliada é
. - O ponto de interesse é
. - Ao avaliar diretamente em
: e , portanto a forma é — uma forma indeterminada.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (o enunciado pede uso das regras de L’Hospital). Vou aplicar a regra de L’Hospital porque a expressão tem a forma indeterminada
. Antes de aplicar, recapitulo a regra e coisas que vou usar:
- Regra de L’Hospital (versão prática): Se
e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), perto de e
então, se existir o limite
temos
(É preciso checar a existência do limite dos derivadas.)
-
Regras de diferenciação que usarei:
-
(regra da cadeia). -
.
-
-
Limite trigonométrico fundamental (útil depois):
Vou aplicar L’Hospital uma vez e usar o limite fundamental para avaliar o resultado.
Passo 3
Verificação da indeterminação e preparação para derivar.
- Numerador em
: . - Denominador em
: . - Como é
, a regra de L’Hospital pode ser aplicada.
Defino
e
.
Passo 4
Aplicação da regra de L’Hospital: calcular
e
.
-
Para
uso a regra da cadeia e a derivada de seno: PortantoObservação útil (identidade trigonométrica):. Com isso , se quiser simplificar depois. -
Para
:
Pela regra de L’Hospital:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida e avaliar o limite.
A expressão pode ser simplificada em fatores constantes:
então
Agora separe a parte que conhecemos:
Avalio os limites ao produto:
-
- Para
uso o limite fundamental. Reescrevo: Como (aqui ), segue que logo
Portanto
Multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Comentário didático rápido (maneira alternativa e mais curta, útil para prova):
Reescrevendo diretamente
Como
, o limite é
. Essa via evita derivadas e é frequentemente a mais rápida em provas, mas a aplicação de L’Hospital que fiz acima dá o mesmo resultado.