Questão 7. (3 pontos) Encontre a soma da série:
\sum_{n=2}^{\infty} \log \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Nos é dada a série infinita \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \log\!\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right).
  • O que se pede: encontrar o valor numérico dessa soma (se ela converge, qual é o seu valor).
  • Observação importante extraída do enunciado: para todo n\ge 2 temos 1-\dfrac{1}{n^{2}}>0, então o argumento do \log é positivo e a expressão está bem definida.

Passo 2

Uma propriedade básica e muito útil dos logaritmos que vamos usar (aulas rápidas):
  • Regra: para números positivos a_1,a_2,\dots,a_N vale
\log(a_1)+\log(a_2)+\cdots+\log(a_N)=\log\!\bigl(a_1a_2\cdots a_N\bigr).
  • Aplicação imediata: os somatórios parciais da série podem ser escritos como logaritmo de um produto. Definindo a soma parcial
S_N=\sum_{n=2}^{N}\log\!\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right),
temos
S_N=\log\!\left(\prod_{n=2}^{N}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)\right).
Isto é permitido porque cada fator 1-\dfrac{1}{n^{2}} é positivo.

Passo 3

Reescrever cada fator 1-\dfrac{1}{n^{2}} de forma que a telescopia apareça:
  • Note que
1-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}.
  • Então o produto parcial fica
\prod_{n=2}^{N}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\prod_{n=2}^{N}\frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}.

Passo 4

Separar o produto em dois produtos mais simples e observar o cancelamento (telescopia):
  • Escrevendo o produto como produto de dois fatores,
\prod_{n=2}^{N}\frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}} =\left(\prod_{n=2}^{N}\frac{n-1}{n}\right)\left(\prod_{n=2}^{N}\frac{n+1}{n}\right).
  • Calcule cada um deles:
    • Primeiro produto:
    \prod_{n=2}^{N}\frac{n-1}{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{N-1}{N}.Aqui todos os termos intermediários se cancelam, sobrando \prod_{n=2}^{N}\frac{n-1}{n}=\frac{1}{N}.(Justificação rápida: numerador final é (N-1)! e denominador é N!/1, logo (N-1)!/N!=1/N.)
    • Segundo produto:
    \prod_{n=2}^{N}\frac{n+1}{n}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdots\frac{N+1}{N}.Aqui também tudo cancela, sobrando \prod_{n=2}^{N}\frac{n+1}{n}=\frac{N+1}{2}.

Passo 5

Combinar os resultados e simplificar o produto parcial:
  • Multiplicando os dois resultados:
\prod_{n=2}^{N}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{N}\cdot\frac{N+1}{2}=\frac{N+1}{2N}.
  • Portanto a soma parcial S_N é
S_N=\log\!\left(\frac{N+1}{2N}\right).

Passo 6

Tomar o limite quando N\to\infty para obter a soma da série:
  • Calcular o limite do produto parcial:
\lim_{N\to\infty}\frac{N+1}{2N}=\frac{1}{2}.
  • Usar continuidade do logaritmo para passar o limite para dentro:
\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\log\!\left(\frac{N+1}{2N}\right)=\log\!\left(\frac{1}{2}\right).
  • Portanto a série converge e sua soma é \log\!\left(\dfrac{1}{2}\right).

Resposta

-\log 2

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