Questão 7. (3 pontos) Encontre a soma da série:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Nos é dada a série infinita
. - O que se pede: encontrar o valor numérico dessa soma (se ela converge, qual é o seu valor).
- Observação importante extraída do enunciado: para todo
temos , então o argumento do é positivo e a expressão está bem definida.
Passo 2
Uma propriedade básica e muito útil dos logaritmos que vamos usar (aulas rápidas):
- Regra: para números positivos
vale
- Aplicação imediata: os somatórios parciais da série podem ser escritos como logaritmo de um produto. Definindo a soma parcial
temos
Isto é permitido porque cada fator
é positivo.
Passo 3
Reescrever cada fator
de forma que a telescopia apareça:
- Note que
- Então o produto parcial fica
Passo 4
Separar o produto em dois produtos mais simples e observar o cancelamento (telescopia):
- Escrevendo o produto como produto de dois fatores,
- Calcule cada um deles:
- Primeiro produto:
Aqui todos os termos intermediários se cancelam, sobrando (Justificação rápida: numerador final é e denominador é , logo .) - Segundo produto:
Aqui também tudo cancela, sobrando
Passo 5
Combinar os resultados e simplificar o produto parcial:
- Multiplicando os dois resultados:
- Portanto a soma parcial
é
Passo 6
Tomar o limite quando
para obter a soma da série:
- Calcular o limite do produto parcial:
- Usar continuidade do logaritmo para passar o limite para dentro:
- Portanto a série converge e sua soma é
.