Questão 8. (3 pontos) Uma sequência \left\{a_{n}\right\} é definida recursivamente pelas equações:
a_{0}=a_{1}=1 \quad \text { e } \quad n(n-1) a_{n}=(n-1)(n-2) a_{n-1}-(n-3) a_{n-2}
Encontre a soma da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \{a_n\} por recorrência e pede a soma da série \sum_{n=0}^{\infty} a_n. Informações do enunciado:
  • Condições iniciais: a_{0}=a_{1}=1.
  • Recorrência válida para n\ge2:
n(n-1)a_{n}=(n-1)(n-2)a_{n-1}-(n-3)a_{n-2}.
O que se pede: calcular \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}.

Passo 2

Estratégia: usar a função geradora de potências
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
porque derivadas formais de A(x) produzem fatores n e n(n-1) que aparecem na recorrência. Antes de aplicar a recorrência, registro fórmulas úteis (fácil de verificar difundindo soma termo a termo):
\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n = x A'(x), \qquad \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)a_n x^n = x^{2} A''(x).

Passo 3

Multiplico a recorrência por x^n e somo para n\ge2. À esquerda obtemos
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^n = x^{2}A''(x).
No primeiro termo da direita, trocando índice m=n-1,
\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)(n-2)a_{n-1} x^n = \sum_{m=1}^{\infty} m(m-1)a_m x^{m+1} = x\sum_{m=1}^{\infty} m(m-1)a_m x^{m} = x\cdot x^{2}A''(x)=x^{3}A''(x).
No segundo termo da direita, trocando k=n-2,
\sum_{n=2}^{\infty} (n-3)a_{n-2} x^n = \sum_{k=0}^{\infty} (k-1)a_k x^{k+2} = x^{2}\sum_{k=0}^{\infty} (k-1)a_k x^k = x^{2}\bigl(xA'(x)-A(x)\bigr) = x^{3}A'(x)-x^{2}A(x).

Passo 4

Juntando tudo na igualdade (somando os três somatórios conforme a recorrência) obtemos
x^{2}A''(x)=x^{3}A''(x)-\bigl(x^{3}A'(x)-x^{2}A(x)\bigr).
Isolando e simplificando (dividindo por x^2, válido como identidade de séries) vem a equação diferencial para A:
(1-x)A''(x)+xA'(x)-A(x)=0.
As condições iniciais vêm diretamente da geradora:
A(0)=a_0=1,\qquad A'(0)=a_1=1.

Passo 5

Resolver a EDO. Uma solução natural a testar é a exponencial A(x)=\mathrm{e}^{x}. Calculo
A'(x)=\mathrm{e}^{x},\qquad A''(x)=\mathrm{e}^{x},
e substituo na EDO:
(1-x)\mathrm{e}^{x}+x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}=0.
Logo \mathrm{e}^{x} satisfaz a EDO. Além disso \mathrm{e}^{0}=1 e \frac{d}{dx}\mathrm{e}^{x}\big|_{x=0}=1, ou seja, as condições iniciais também batem. Como a EDO é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em x, a solução em torno de 0 é única; portanto
A(x)=\mathrm{e}^{x}.
(Isto implica, equivalently, que os coeficientes da série de A são a_n=1/n!; se preferir, pode provar diretamente por indução que a_n=1/n! satisfaz a recorrência.)

Passo 6

A soma pedida é \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n = A(1). Como A(x)=\mathrm{e}^{x},
\sum_{n=0}^{\infty} a_n = A(1)=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}.

Resposta

\mathrm{e}

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