Encontre a soma da série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência \{a_n\} por recorrência e pede a soma da série \sum_{n=0}^{\infty} a_n. Informações do enunciado:
Condições iniciais: a_{0}=a_{1}=1.
Recorrência válida para n\ge2:
n(n-1)a_{n}=(n-1)(n-2)a_{n-1}-(n-3)a_{n-2}.
O que se pede: calcular \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}.
Passo 2
Estratégia: usar a função geradora de potências
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
porque derivadas formais de A(x) produzem fatores n e n(n-1) que aparecem na recorrência. Antes de aplicar a recorrência, registro fórmulas úteis (fácil de verificar difundindo soma termo a termo):
\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n = x A'(x), \qquad \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)a_n x^n = x^{2} A''(x).
Passo 3
Multiplico a recorrência por x^n e somo para n\ge2. À esquerda obtemos
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^n = x^{2}A''(x).
No primeiro termo da direita, trocando índice m=n-1,
Logo \mathrm{e}^{x} satisfaz a EDO. Além disso \mathrm{e}^{0}=1 e \frac{d}{dx}\mathrm{e}^{x}\big|_{x=0}=1, ou seja, as condições iniciais também batem. Como a EDO é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em x, a solução em torno de 0 é única; portanto
A(x)=\mathrm{e}^{x}.
(Isto implica, equivalently, que os coeficientes da série de A são a_n=1/n!; se preferir, pode provar diretamente por indução que a_n=1/n! satisfaz a recorrência.)
Passo 6
A soma pedida é \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n = A(1). Como A(x)=\mathrm{e}^{x},