(2,0) Calcule os seguintes limites:
(b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}.
Esse tipo de limite gera uma indeterminação do tipo 0/0, e uma forma eficiente de resolver é racionalizar o numerador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0: \sqrt{3+0}-\sqrt{3-0}=0 e o denominador x também vale 0. Logo, temos 0/0.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}:
\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x} \;\cdot\; \frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}} = \frac{(3+x)-(3-x)}{x\bigl(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}\bigr)} = \frac{2x}{x\bigl(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}\bigr)} = \frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite x\to0 na expressão simplificada:
\lim_{x\to0}\frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}} = \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}

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