Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
(y^{2}+y x) d x+x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(y^{2}+yx)\,dx + x^{2}\,dy = 0
e pede uma resolução por meio de substituição. Note que as funções M(x,y)=y^{2}+xy e N(x,y)=x^{2} são homogêneas de mesmo grau (grau 2), então é natural usar a substituição
y = v x.

Passo 2

Com y = v x temos
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em
(y^{2}+xy)\,dx + x^{2}\,dy = 0
vem
\bigl((v x)^{2} + x\,(v x)\bigr)\,dx + x^{2}\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = 0.
Isso expande para
(x^{2}v^{2} + x^{2}v)\,dx + (x^{2}v\,dx + x^{3}\,dv) = 0.

Passo 3

Agrupando termos em dx e dv obtemos
x^{2}(v^{2}+v + v)\,dx + x^{3}\,dv = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}(v^{2}+2v)\,dx + x^{3}\,dv = 0.
Dividindo tudo por x^{2}
(v^{2}+2v)\,dx + x\,dv = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,dv = -(v^{2}+2v)\,dx.
Separamos variáveis:
\frac{dv}{v(v+2)} = -\frac{dx}{x}.
Usando frações parciais em \dfrac{1}{v(v+2)}:
\frac{1}{v(v+2)} = \frac{1/2}{v} - \frac{1/2}{v+2},
temos
\int\Bigl(\frac{1/2}{v} - \frac{1/2}{v+2}\Bigr)\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
Integrando,
\frac{1}{2}\ln\biggl|\frac{v}{v+2}\biggr| = -\ln|x| + C.

Passo 4

Multiplicando por 2 e rearranjando,
\ln\biggl|\frac{v}{v+2}\biggr| = -2\ln|x| + C' \quad\Longrightarrow\quad \biggl|\frac{v}{v+2}\biggr|\,x^{2} = C''.
Voltando a v=y/x:
\frac{x^{2}\,(y/x)}{y/x + 2} = C'' \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}y}{y + 2x} = C.

Resposta

\frac{x^{2}y}{y + 2x} = C,
com C constante de integração.

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