(2,0) Calcule os seguintes limites:
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{1-\cos x}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{1-\cos x},
que é uma forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar aqui o desenvolvimento em série de Taylor de cada parte em torno de x=0.

Passo 2

Desenvolvemos em Taylor até ordem x^4:
e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6),
logo
e^{x^2}-1 = x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6).
Também
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6),
portanto
1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6).

Passo 3

Substituindo nas séries:
\frac{e^{x^{2}}-1}{1-\cos x} = \frac{x^2 + \tfrac{x^4}{2} + O(x^6)}{\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^4}{24} + O(x^6)} = \frac{x^2\bigl(1 + \tfrac{x^2}{2} + O(x^4)\bigr)}{x^2\bigl(\tfrac12 - \tfrac{x^2}{24} + O(x^4)\bigr)}.
Cancelando x^2 e tomando o limite x\to0 temos
L = \frac{1}{\tfrac12} = 2.

Resposta

\,2

Exercícios relacionados