Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este tipo de equação é homogênea (os termos têm o mesmo grau se tratarmos
como grau 1). A ideia é usar a substituição
que costuma transformar equações homogêneas em separáveis.
Passo 2
Reescrevendo em forma de derivada, temos
Passo 3
Com a substituição
vem
Passo 4
Substituindo em
,
Isolando
:
logo
Passo 5
Agora é uma equação separável. Colocamos todos os
de um lado e
do outro:
Passo 6
Integramos cada lado:
No lado de
, note que
então
No lado de
:
Logo a relação com a constante
é
Passo 7
Voltando à variável original
:
Assim a solução implícita fica