Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
-y\,dx + \bigl(x + \sqrt{x y}\bigr)\,dy = 0.
Este tipo de equação é homogênea (os termos têm o mesmo grau se tratarmos \sqrt{x y} como grau 1). A ideia é usar a substituição
y = u\,x,
que costuma transformar equações homogêneas em separáveis.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
\bigl(x + \sqrt{x y}\bigr)\,dy = y\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y}{\,x + \sqrt{x y}\,}.

Passo 3

Com a substituição y = u\,x vem
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}, \qquad \sqrt{x y} = \sqrt{x\,(u\,x)} = x\,\sqrt{u}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + \sqrt{x y}},
u + x\,\frac{du}{dx} = \frac{u\,x}{x + x\sqrt{u}} = \frac{u}{1 + \sqrt{u}}.
Isolando du/dx:
x\,\frac{du}{dx} = \frac{u}{1 + \sqrt{u}} \;-\; u = -\,\frac{u\,\sqrt{u}}{1 + \sqrt{u}},
logo
\frac{du}{dx} = -\,\frac{u\,\sqrt{u}}{\,(1 + \sqrt{u})\,x}.

Passo 5

Agora é uma equação separável. Colocamos todos os u de um lado e x do outro:
\frac{1 + \sqrt{u}}{u\,\sqrt{u}}\;du = -\,\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integramos cada lado:
No lado de u, note que
\frac{1 + \sqrt{u}}{u\,\sqrt{u}} = u^{-\tfrac32} + u^{-1},
então
\int \bigl(u^{-3/2} + u^{-1}\bigr)\,du = \int u^{-3/2}\,du + \int u^{-1}\,du = -2\,u^{-1/2} + \ln\bigl|u\bigr|.
No lado de x:
\int -\frac{dx}{x} = -\ln\bigl|x\bigr|.
Logo a relação com a constante C é
-2\,u^{-1/2} + \ln\bigl|u\bigr| = -\ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 7

Voltando à variável original y = u\,x:
\ln\bigl|u\bigr| + \ln\bigl|x\bigr| = \ln\bigl|y\bigr|, \quad u^{-1/2} = \sqrt{\frac{x}{y}}.
Assim a solução implícita fica
\ln\bigl|y\bigr| \;-\; 2\,\sqrt{\frac{x}{y}} \;=\; C.

Resposta

\ln\lvert y\rvert - 2\sqrt{\tfrac{x}{y}} = C

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