Calcule os seguintes limites.
c) lim x 0 1-cos xsin x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 1-cos xsin x. Esse problema está no tópico de Cálculo de Limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar saber algumas identidades trigonométricas e como simplificar expressões com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin x e cos x têm comportamentos específicos quando x se aproxima de 0. Sabemos que cos 0 = 1 e sin 0 = 0, mas precisamos entender como essas funções se comportam perto de 0 para calcular o limite.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica 1 - cos x = 2sin^2(x2). Isso nos ajuda a simplificar o numerador da fração:
1 - cos x = 2sin^2(x2)

Passo 4

Substituindo essa identidade na expressão original, temos:
1 - cos xsin x = 2sin^2(x2)sin x

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que sin x = 2sin(x2)cos(x2) a partir da fórmula do ângulo duplo. Substituindo na fração:
2sin^2(x2)2sin(x2)cos(x2) = sin(x2)cos(x2)

Passo 6

Percebemos que a expressão ficou mais simples: sin(x2)cos(x2) = tan(x2). Agora, precisamos calcular o limite de tan(x2) quando x se aproxima de 0.

Passo 7

Sabemos que tan y approx y quando y está perto de 0. Então, quando x 0, x2 0 também. Portanto:
tan(x2) approx x2

Passo 8

Assim, o limite fica:
lim x 0 1-cos xsin x = lim x 0 x2 = 02 = 0

Resposta

O limite lim x 0 1-cos xsin x é igual a 0.

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