Calcule os seguintes limites.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está no tópico de Cálculo de Limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar saber algumas identidades trigonométricas e como simplificar expressões com funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
têm comportamentos específicos quando
se aproxima de 0. Sabemos que
e
, mas precisamos entender como essas funções se comportam perto de 0 para calcular o limite.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica
. Isso nos ajuda a simplificar o numerador da fração:
Passo 4
Substituindo essa identidade na expressão original, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
a partir da fórmula do ângulo duplo. Substituindo na fração:
Passo 6
Percebemos que a expressão ficou mais simples:
. Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0.
Passo 7
Sabemos que
quando
está perto de 0. Então, quando
,
também. Portanto:
Passo 8
Assim, o limite fica:
Resposta
O limite
é igual a 0.