Calcule os seguintes limites:
(c) \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função considerada é f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}.
O ponto onde a variável se aproxima é x=0.
A função (1+x)^{\frac{1}{2}} está definida para x>-1 (pois precisamos que 1+x\ge 0 para a raiz quadrada real).
O valor da função no ponto x=0 é f(0)=(1+0)^{\frac{1}{2}}=1.
Nada mais é pedido além de encontrar o valor do limite quando x tende a 0.
Passo 2
Estratégia didática que vou usar (sem resolver ainda): mostrar que a expressão se aproxima de 1 ao racionalizar a diferença entre (1+x)^{1/2} e 1. Isso permite encontrar uma desigualdade que indica claramente que a diferença tende a zero quando x\to 0. Vou explicar cada passo da álgebra usada e o teorema do aperto (squeeze theorem) que garante o resultado.
Passo 3
Construímos a diferença entre a função e o valor candidato ao limite (que já notamos ser 1):
(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1.
Para manipular essa expressão é útil multiplicar por 1 na forma do conjugado. Fazemos:
Aplicamos o teorema do aperto (squeeze theorem). Sabemos que \lim_{x\to 0}|x| = 0. Pela desigualdade do passo anterior, a quantidade \left|(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\right| está “apertada” entre 0 e |x|, portanto também tende a 0 quando x\to 0. Assim