Calcule os seguintes limites:
(c) \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=0.
  • A função (1+x)^{\frac{1}{2}} está definida para x>-1 (pois precisamos que 1+x\ge 0 para a raiz quadrada real).
  • O valor da função no ponto x=0 é f(0)=(1+0)^{\frac{1}{2}}=1.
    Nada mais é pedido além de encontrar o valor do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Estratégia didática que vou usar (sem resolver ainda): mostrar que a expressão se aproxima de 1 ao racionalizar a diferença entre (1+x)^{1/2} e 1. Isso permite encontrar uma desigualdade que indica claramente que a diferença tende a zero quando x\to 0. Vou explicar cada passo da álgebra usada e o teorema do aperto (squeeze theorem) que garante o resultado.

Passo 3

Construímos a diferença entre a função e o valor candidato ao limite (que já notamos ser 1):
(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1.
Para manipular essa expressão é útil multiplicar por 1 na forma do conjugado. Fazemos:
(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 = \frac{\big((1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\big)\big((1+x)^{\frac{1}{2}} + 1\big)}{(1+x)^{\frac{1}{2}} + 1}.

Passo 4

Ao multiplicar o numerador, o produto no numerador é uma diferença de quadrados:
\big((1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\big)\big((1+x)^{\frac{1}{2}} + 1\big) = (1+x) - 1 = x.
Portanto obtém-se a fórmula útil
(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 = \frac{x}{(1+x)^{\frac{1}{2}} + 1}.

Passo 5

Agora tomamos valor absoluto e achamos um limite superior simples. Como x>-1 temos (1+x)^{\frac{1}{2}}\ge 0, logo
(1+x)^{\frac{1}{2}} + 1 \ge 1.
Portanto, para x>-1,
\left|(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\right| = \left|\frac{x}{(1+x)^{\frac{1}{2}} + 1}\right| \le \frac{|x|}{1} = |x|.
Assim obtemos a desigualdade
0 \le \left|(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\right| \le |x|.

Passo 6

Aplicamos o teorema do aperto (squeeze theorem). Sabemos que \lim_{x\to 0}|x| = 0. Pela desigualdade do passo anterior, a quantidade \left|(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\right| está “apertada” entre 0 e |x|, portanto também tende a 0 quando x\to 0. Assim
\lim_{x\to 0}\left((1+x)^{\frac{1}{2}} - 1\right) = 0,
o que implica
\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{2}} = 1.

Resposta

\displaystyle 1

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