Uma pessoa puxa um objeto de massa m=5 \mathrm{~kg}, por meio de uma força F=12 \mathrm{~N}, que faz um ângulo de 30^{\circ} com a direção de deslocamento. Determine o trabalho feito pela pessoa e a velocidade final do objeto depois de percorrer 3 m . Suponha que o objeto partiu do repouso e que não há atrito na superfície.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Informações fornecidas:
  • Massa do objeto: m=5\\ \mathrm{kg}.
  • Força aplicada pela pessoa: F=12\\ \mathrm{N}.
  • A força faz um ângulo de 30^\circ com a direção do deslocamento.
  • Deslocamento ao longo da direção indicada: s=3\\ \mathrm{m}.
  • O objeto parte do repouso.
  • Não há atrito (logo não há forças dissipativas horizontais).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Determinar o trabalho feito pela pessoa sobre o objeto.
  2. Determinar a velocidade final do objeto depois de percorrer 3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo o que é trabalho e a fórmula que vamos usar.
A definição prática que usamos em física de nível introdutório é: o trabalho realizado por uma força constante \vec{F} quando um corpo se desloca \vec{s} é o produto escalar entre \vec{F} e \vec{s}. Em fórmula:
W = \vec{F}\cdot\vec{s} = F\,s\cos\theta,
onde:
  • W é o trabalho (em joules, \mathrm{J});
  • F é o módulo da força (em newton, \mathrm{N});
  • s é o comprimento do deslocamento (em metros, \mathrm{m});
  • \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento;
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo, que nos dá a componente da força na direção do deslocamento.
Explicação didática: só a componente da força paralela ao deslocamento realiza trabalho. Se a força tem uma componente perpendicular ao deslocamento, essa componente não faz trabalho (porque \cos 90^\circ=0).

Passo 3

Calcular a componente da força na direção do deslocamento.
A componente da força na direção do deslocamento (chamemos de F_{\parallel}) é:
F_{\parallel} = F\cos\theta.
Substituindo os valores dados ( F=12\\ \mathrm{N} e \theta=30^\circ):
F_{\parallel} = 12\cos 30^\circ.
Lembrando que \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos:
F_{\parallel} = 12\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular o trabalho feito pela pessoa.
Usando W = F_{\parallel}\,s (ou diretamente W=F s\cos\theta), com s=3\\ \mathrm{m}:
W = 6\sqrt{3}\times 3 = 18\sqrt{3}\\ \mathrm{J}.
Se quisermos um valor numérico aproximado, \sqrt{3}\approx 1,732, então
W \approx 18\times 1,732 = 31,18\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Relacionar o trabalho com a variação da energia cinética (Teorema Trabalho-Energia).
O teorema trabalho-energia diz que o trabalho líquido realizado sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética:
W_{\text{líquido}} = \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}.í
Aqui não há atrito e assumimos que nenhuma outra força faz trabalho líquido além da pessoa (a componente vertical da força não realiza trabalho porque o deslocamento é só horizontal e não há deslocamento vertical observável). O objeto parte do repouso, então K_{\text{inicial}}=0. Portanto:
K_{\text{final}} = W = 18\sqrt{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Expressar energia cinética final e conectar com a velocidade.
A energia cinética é dada por
K = \dfrac{1}{2} m v^2,
onde:
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • v é o módulo da velocidade (em \mathrm{m/s}).
Igualando à energia que acabamos de calcular:
\dfrac{1}{2} m v^2 = 18\sqrt{3}.

Passo 7

Isolar v e calcular numericamente.
Isolando v:
v^2 = \dfrac{2\cdot 18\sqrt{3}}{m} = \dfrac{36\sqrt{3}}{5}.
Então
v = \sqrt{\dfrac{36\sqrt{3}}{5}}.
Podemos simplificar numericamente: usando \sqrt{3}\approx 1,732,
v^2 \approx \dfrac{36\times 1,732}{5} = \dfrac{62,352}{5} = 12,4704,
portanto
v \approx \sqrt{12,4704} \approx 3,53\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

Trabalho realizado: 18\sqrt{3}\\ \mathrm{J}\approx 31,18\\ \mathrm{J}
Velocidade final: v=\sqrt{\dfrac{36\sqrt{3}}{5}}\\ \mathrm{m/s}\approx 3,53\\ \mathrm{m/s}

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