Encontre os seguintes limites:
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite lateral:
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, consideramos x>0 e x muito pequeno.
  • A expressão é a diferença de duas funções que envolvem recíprocos: \frac{1}{x} e \frac{1}{x^{2}}.
  • Precisamos decidir se o limite existe finito, diverge para +\infty, diverge para -\infty ou não existe de outra forma.

Passo 2

Vamos entender o comportamento das parcelas separadamente quando x\to 0^{+}.
  • Para x>0 pequeno, \frac{1}{x} fica muito grande e positivo, logo \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.
  • Para x>0 pequeno, \frac{1}{x^{2}} também fica muito grande e positivo, e normalmente cresce mais rápido que \frac{1}{x} porque o denominador é x^{2} (mais pequeno que x). Assim \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
    Só com isso não concluímos o limite da diferença; precisamos comparar taxas de crescimento.

Passo 3

Vamos colocar a expressão em uma única fração para facilitar a análise:
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x-1}{x^{2}}.
Expliquei: peguei o denominador comum x^{2}, escrevi \frac{1}{x}=\frac{x}{x^{2}} e subtraí \frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Agora examine o numerador e o denominador quando x\to 0^{+}.
  • O numerador x-1 tende para -1 quando x\to 0^{+}; em particular, para todo x\in(0,1) temos x-1<0.
  • O denominador x^{2} é positivo para x\neq 0 e tende para 0^{+} quando x\to 0^{+}.
Portanto a fração \dfrac{x-1}{x^{2}} tem sinal negativo (negativo dividido por positivo) e seu valor absoluto cresce sem limite porque o denominador vai a zero. Para ficar mais rigoroso, escolha 0<x\le \tfrac{1}{2}. Nesse intervalo temos 1-x\ge \tfrac{1}{2}, então
\left|\frac{x-1}{x^{2}}\right|=\frac{1-x}{x^{2}}\ge \frac{1/2}{x^{2}}.
Como \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty, segue que \left|\frac{x-1}{x^{2}}\right|\to +\infty. Como o sinal da fração é negativo para x pequeno e positivo, concluímos que a fração tende a -\infty.

Passo 5

Interpretação final: a expressão \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x-1}{x^{2}} torna-se cada vez mais negativa quando x se aproxima de 0 pela direita, sem limite inferior. Isso significa que o limite diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados