Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, explique por quê.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
Vamos resolver os limites listados no exercício. Os limites são usados para determinar o comportamento das funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Para isso, vamos aplicar técnicas de simplificação, conhecimento de funções e propriedades dos limites.
Passo 2
a) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} $
Primeiro, observamos que se substituirmos $ x = 2 $ diretamente, teremos uma divisão por zero, o que é indefinido. Então, precisamos simplificar a expressão.
A expressão $ x^{2} - 4 $ é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada assim:
Substituindo na fração:
Cancelamos o fator comum $ (x - 2) $:
Agora, podemos substituir $ x = 2 $:
b) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}+4}{x-2} $
Aqui, substituindo $ x = 2 $ diretamente, o denominador se aproxima de 0 e o numerador se aproxima de $ 8 $. A fração tende a infinito, mas precisamos verificar o sinal.
Para $ x $ próximo a 2:
- Se $ x > 2 $, $ x - 2 > 0 $, então a fração tende a $ +\infty $.
- Se $ x < 2 $, $ x - 2 < 0 $, então a fração tende a $ -\infty $.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.
c) $ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} $
Substituindo $ x = 4 $, temos $ \frac{0}{0} $, forma indeterminada. Vamos racionalizar o numerador:
Multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{x} + 2 $:
Cancelamos $ x - 4 $:
Agora, substituímos $ x = 4 $:
d) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} $
Substituindo $ x = 0 $, temos $ \frac{0}{0} $, forma indeterminada. Podemos usar a definição de derivada ou multiplicar por $ \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} $:
Agora, substituímos $ x = 0 $:
e) $ \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} $
Dependendo de como $ x $ se aproxima de 0:
- Se $ x \to 0^+ $, $ |x| = x $, então $ \frac{x}{x} = 1 $.
- Se $ x \to 0^- $, $ |x| = -x $, então $ \frac{-x}{x} = -1 $.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.
f) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} $
Conhecemos o limite padrão $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $. Podemos adaptar para $ 3x $:
g) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{2}+x} $
Substituindo $ x = 0 $, temos $ \frac{0}{0} $, forma indeterminada. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador:
Agora, substituímos $ x = 0 $:
h) $ \lim_{x \to 0} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} $
Substituindo $ x = 0 $:
i) $ \lim_{x \to 1} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} $
Substituindo $ x = 1 $, temos $ \frac{-1}{0} $. Vamos analisar os limites laterais:
- Se $ x \to 1^+ $, o denominador $ x^{2}-1 $ se aproxima de 0 positivo, então a fração tende a $ -\infty $.
- Se $ x \to 1^- $, o denominador se aproxima de 0 negativo, então a fração tende a $ +\infty $.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.
j) $ \lim_{x \to -1} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} $
Substituindo $ x = -1 $:
Analisando os limites laterais:
- Se $ x \to -1^+ $, o denominador $ x^{2}-1 $ se aproxima de 0 positivo, então a fração tende a $ -\infty $.
- Se $ x \to -1^- $, o denominador se aproxima de 0 positivo, então a fração também tende a $ -\infty $.
Portanto, o limite é $ -\infty $.
Resposta
a) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} = 4 $
b) O limite não existe.
c) $ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{1}{4} $
d) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{2} $
e) O limite não existe.
f) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 $
g) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{2}+x} = 1 $
h) $ \lim_{x \to 0} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} = 2 $
i) O limite não existe.
j) $ \lim_{x \to -1} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} = -\infty $