Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, explique por quê.
a) lim x 2 x^2-4x-2
b) lim x 2 x^2+4x-2
c) lim x 4 raizx-2x-4
d) lim x 0 raizx+1-1x
e) lim x 0 |x|x
f) lim x 0 operatornamesen 3 xx
g) lim x 0 operatornamesen xx^2+x
h) lim x 0 x^2-2x^2-1
i) lim x 1 x^2-2x^2-1
j) lim x -1 x^2-2x^2-1

Passo 1

Vamos resolver os limites listados no exercício. Os limites são usados para determinar o comportamento das funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Para isso, vamos aplicar técnicas de simplificação, conhecimento de funções e propriedades dos limites.

Passo 2

a) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} $

Primeiro, observamos que se substituirmos $ x = 2 $ diretamente, teremos uma divisão por zero, o que é indefinido. Então, precisamos simplificar a expressão.
A expressão $ x^{2} - 4 $ é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada assim:
limx to 2 x^2-4x-2
Substituindo na fração:
x = 2
Cancelamos o fator comum $ (x - 2) $:
x^2 - 4
Agora, podemos substituir $ x = 2 $:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

b) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}+4}{x-2} $

Aqui, substituindo $ x = 2 $ diretamente, o denominador se aproxima de 0 e o numerador se aproxima de $ 8 $. A fração tende a infinito, mas precisamos verificar o sinal.
Para $ x $ próximo a 2:
  • Se $ x > 2 $, $ x - 2 > 0 $, então a fração tende a $ +\infty $.
  • Se $ x < 2 $, $ x - 2 < 0 $, então a fração tende a $ -\infty $.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

c) $ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} $

Substituindo $ x = 4 $, temos $ \frac{0}{0} $, forma indeterminada. Vamos racionalizar o numerador:
Multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{x} + 2 $:
(x - 2)(x + 2)x - 2
Cancelamos $ x - 4 $:
(x - 2)
Agora, substituímos $ x = 4 $:
x + 2

d) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} $

Substituindo $ x = 0 $, temos $ \frac{0}{0} $, forma indeterminada. Podemos usar a definição de derivada ou multiplicar por $ \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} $:
x = 2
Agora, substituímos $ x = 0 $:
2 + 2 = 4

e) $ \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} $

Dependendo de como $ x $ se aproxima de 0:
  • Se $ x \to 0^+ $, $ |x| = x $, então $ \frac{x}{x} = 1 $.
  • Se $ x \to 0^- $, $ |x| = -x $, então $ \frac{-x}{x} = -1 $.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

f) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} $

Conhecemos o limite padrão $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $. Podemos adaptar para $ 3x $:
limx to 2 x^2+4x-2

g) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{2}+x} $

Substituindo $ x = 0 $, temos $ \frac{0}{0} $, forma indeterminada. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador:
x = 2
Agora, substituímos $ x = 0 $:
8

h) $ \lim_{x \to 0} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} $

Substituindo $ x = 0 $:
x

i) $ \lim_{x \to 1} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} $

Substituindo $ x = 1 $, temos $ \frac{-1}{0} $. Vamos analisar os limites laterais:
  • Se $ x \to 1^+ $, o denominador $ x^{2}-1 $ se aproxima de 0 positivo, então a fração tende a $ -\infty $.
  • Se $ x \to 1^- $, o denominador se aproxima de 0 negativo, então a fração tende a $ +\infty $.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

j) $ \lim_{x \to -1} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} $

Substituindo $ x = -1 $:
x > 2
Analisando os limites laterais:
  • Se $ x \to -1^+ $, o denominador $ x^{2}-1 $ se aproxima de 0 positivo, então a fração tende a $ -\infty $.
  • Se $ x \to -1^- $, o denominador se aproxima de 0 positivo, então a fração também tende a $ -\infty $.
Portanto, o limite é $ -\infty $.

Resposta

a) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} = 4 $
b) O limite não existe.
c) $ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{1}{4} $
d) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{2} $
e) O limite não existe.
f) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 $
g) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{2}+x} = 1 $
h) $ \lim_{x \to 0} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} = 2 $
i) O limite não existe.
j) $ \lim_{x \to -1} \frac{x{2}-2}{x{2}-1} = -\infty $

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