Um fazendeiro quer cercar uma área retangular de 1600 m^2 em um campo adjacente a um rio reto. Ele precisa de colocar cerca em três lados do retângulo, sendo que o lado ao longo do rio não precisa de cerca. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa usar?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fazendeiro que quer cercar uma área retangular de 1600 , m^2 em um campo que faz de frente para um rio reto. Ele precisa colocar cerca em três lados desse retângulo, já que o lado que fica ao longo do rio não precisa de cerca. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa usar para cercar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar. Vamos chamar de L o comprimento do retângulo, ou seja, o lado que fica paralelo ao rio. E vamos chamar de W a largura, que são os dois lados perpendiculares ao rio e que precisam de cerca.

Passo 3

Sabemos que a área do retângulo é dada por:
Área = L times W Á
E essa área é igual a 1600 , m^2. Então, temos:
L times W = 1600
Podemos rearranjar essa equação para expressar L em termos de W:
L = 1600W

Passo 4

Agora, vamos pensar na quantidade total de cerca que o fazendeiro precisa. Como ele vai cercar três lados (dois W e um L), a quantidade total de cerca C é:
C = L + 2W
Substituindo L pela expressão que encontramos:
C = 1600W + 2W

Passo 5

Nosso objetivo é minimizar C. Para isso, vamos encontrar o valor de W que torna C o menor possível. Isso é um problema de otimização. Vamos derivar C em relação a W e igualar a zero para encontrar o ponto mínimo.
Primeiro, derivamos C em relação a W:
dCdW = -1600W^2 + 2
Agora, igualamos a derivada a zero:
-1600W^2 + 2 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar W:
-1600W^2 + 2 = 0 1600W^2 = 2 W^2 = 16002 W^2 = 800 W = raiz800 W = 20raiz2 , m

Passo 7

Agora que temos W, vamos encontrar L usando a relação que encontramos anteriormente:
L = 1600W = 160020raiz2 = 80raiz2 = 40raiz2 , m

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a quantidade mínima de cerca C que o fazendeiro precisa:
C = L + 2W = 40raiz2 + 2 times 20raiz2 = 40raiz2 + 40raiz2 = 80raiz2 , m
Aproximando raiz2 approx 1,414:
C approx 80 times 1,414 approx 113,14 , m

Resposta

A quantidade mínima de cerca que o fazendeiro precisa usar é aproximadamente 113,14 , m.

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