Um fazendeiro quer cercar uma área retangular de
em um campo adjacente a um rio reto. Ele precisa de colocar cerca em três lados do retângulo, sendo que o lado ao longo do rio não precisa de cerca. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa usar?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fazendeiro que quer cercar uma área retangular de
em um campo que faz de frente para um rio reto. Ele precisa colocar cerca em três lados desse retângulo, já que o lado que fica ao longo do rio não precisa de cerca. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa usar para cercar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar. Vamos chamar de
o comprimento do retângulo, ou seja, o lado que fica paralelo ao rio. E vamos chamar de
a largura, que são os dois lados perpendiculares ao rio e que precisam de cerca.
Passo 3
Sabemos que a área do retângulo é dada por:
E essa área é igual a
. Então, temos:
Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos pensar na quantidade total de cerca que o fazendeiro precisa. Como ele vai cercar três lados (dois
e um
), a quantidade total de cerca
é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Nosso objetivo é minimizar
. Para isso, vamos encontrar o valor de
que torna
o menor possível. Isso é um problema de otimização. Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar o ponto mínimo.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a quantidade mínima de cerca
que o fazendeiro precisa:
Aproximando
:
Resposta
A quantidade mínima de cerca que o fazendeiro precisa usar é aproximadamente
.