Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça as seguintes condições:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para esboçar o gráfico de uma função $ f $ que satisfaz três condições específicas nos arredores de $ x = 1 $. A matéria aqui é sobre limites e tipos de descontinuidades em funções. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de limite lateral e como eles se relacionam com o valor da função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = 2 $. Isso quer dizer que, ao nos aproximarmos de $ 1 $ pela esquerda (valores menores que 1), os valores de $ f(x) $ estão se aproximando de 2.
Passo 3
Da mesma forma, $ \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = -1 $ indica que, ao nos aproximarmos de $ 1 $ pela direita (valores maiores que 1), os valores de $ f(x) $ estão se aproximando de -1.
Passo 4
Além disso, temos que $ f(1) = 2 $. Isso significa que o valor da função exatamente em $ x = 1 $ é 2.
Passo 5
Com essas informações, percebemos que a função tem um comportamento diferente quando nos aproximamos de $ 1 $ por lados opostos. Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo salto, também conhecida como descontinuidade de primeira espécie.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos:
- Traçar um ponto sólido em $ (1, 2) $, que representa $ f(1) = 2 $.
- Traçar uma reta ou curva à esquerda de $ x = 1 $ que se aproxima de 2.
- Traçar uma reta ou curva à direita de $ x = 1 $ que se aproxima de -1.
- Colocar um ponto aberto em $ (1, -1) $ para indicar que a função não atinge esse valor exatamente de $ x = 1 $ pela direita.
Resposta
O gráfico da função $ f $ terá um ponto sólido em $ (1, 2) $, aproximando-se de 2 pela esquerda e de -1 pela direita, com um ponto aberto em $ (1, -1) $, caracterizando uma descontinuidade de salto em $ x = 1 $.