Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com raio da base igual a 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 2 m^3/min, encontre a taxa de variação da altura da água quando a água atinge a metade da altura do tanque.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido com raio da base de 2,m e altura de 4,m. A água está entrando no tanque a uma taxa de 2,m^3/min. Queremos descobrir quão rápido a altura da água está aumentando quando a água atinge a metade da altura do tanque, ou seja, quando a altura h é 2,m.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo relacionado às taxas de variação, especificamente relacionado a como uma quantidade (neste caso, o volume de água) muda em relação a outra (a altura da água).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
V = 13pi r^2 h
Aqui, V é o volume, r é o raio da base e h é a altura do cone.
No nosso caso, o raio da base do tanque é 2,m quando a altura total é 4,m. Porém, a altura da água h varia conforme a água é adicionada. Precisamos relacionar o raio da água r com a altura h.

Passo 3

Como o tanque é um cone invertido, a relação entre o raio e a altura é uma relação de proporcionalidade. Podemos usar semelhança de triângulos para encontrar essa relação.
Quando a altura do tanque é 4,m, o raio é 2,m. Então, para uma altura h da água, o raio r será:
rh = 24 implies r = h2

Passo 4

Agora, substituímos r = h2 na fórmula do volume para expressar V apenas em termos de h:
V = 13pi (h2)^2 h = 13pi h^24 h = pi h^312
Então, temos:
V = pi h^312

Passo 5

Queremos encontrar a taxa de variação da altura da água, ou seja, dhdt, quando a altura h = 2,m. Sabemos que a taxa de variação do volume é dVdt = 2,m^3/min.
Vamos relacionar dVdt e dhdt derivando a expressão de V em relação ao tempo t:
dVdt = ddt(pi h^312) = pi12 cdot 3h^2 cdot dhdt = pi h^24 cdot dhdt

Passo 6

Agora, isolamos dhdt:
dhdt = 4pi h^2 cdot dVdt
Sabemos que dVdt = 2,m^3/min e h = 2,m. Substituindo esses valores na equação:
dhdt = 4pi (2)^2 cdot 2 = 44pi cdot 2 = 2pi

Resposta

A taxa de variação da altura da água quando ela está a 2,m de altura é 2pi, m/min.

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