Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com raio da base igual a
e altura igual a
. Se a água está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de
, encontre a taxa de variação da altura da água quando a água atinge a metade da altura do tanque.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido com raio da base de
e altura de
. A água está entrando no tanque a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido a altura da água está aumentando quando a água atinge a metade da altura do tanque, ou seja, quando a altura
é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo relacionado às taxas de variação, especificamente relacionado a como uma quantidade (neste caso, o volume de água) muda em relação a outra (a altura da água).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base e
é a altura do cone.
No nosso caso, o raio da base do tanque é
quando a altura total é
. Porém, a altura da água
varia conforme a água é adicionada. Precisamos relacionar o raio da água
com a altura
.
Passo 3
Como o tanque é um cone invertido, a relação entre o raio e a altura é uma relação de proporcionalidade. Podemos usar semelhança de triângulos para encontrar essa relação.
Quando a altura do tanque é
, o raio é
. Então, para uma altura
da água, o raio
será:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do volume para expressar
apenas em termos de
:
Então, temos:
Passo 5
Queremos encontrar a taxa de variação da altura da água, ou seja,
, quando a altura
. Sabemos que a taxa de variação do volume é
.
Vamos relacionar
e
derivando a expressão de
em relação ao tempo
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na equação:
Resposta
A taxa de variação da altura da água quando ela está a
de altura é
.