Uma escada de
de comprimento está apoiada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa de
. A que taxa o topo da escada está descendo quando a base está a
da parede?
Passo 1
Então, temos uma escada de 5 metros apoiada numa parede. A base dela está se afastando da parede a 0,5 m/s. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo quando a base está a 3 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente um conceito chamado taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação como um triângulo retângulo, onde:
- A base da escada (que está se afastando) é um lado do triângulo, que chamaremos de x.
- A altura da escada (a parte que toca a parede) é outro lado, que chamaremos de y.
- A escada em si é a hipotenusa do triângulo, com comprimento fixo de 5 metros.
Então, temos a relação:
Passo 3
Agora, queremos saber como y está mudando com o tempo quando x = 3 metros. Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo t. Isso nos dá:
Aqui,
é a taxa na qual a base está se afastando (0,5 m/s) e
é a taxa que queremos encontrar (a velocidade com que o topo está descendo).
Passo 4
Vamos isolar
na equação:
Isso significa que a velocidade com que o topo está descendo depende de x, y e de
.
Passo 5
Quando x = 3 metros, vamos encontrar y usando a equação original:
Agora, substituímos os valores na equação de
:
Resposta
O topo da escada está descendo a uma taxa de -0,375 metros por segundo quando a base está a 3 metros da parede.