Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa de 0,5 m / s. A que taxa o topo da escada está descendo quando a base está a 3 m da parede?

Passo 1

Então, temos uma escada de 5 metros apoiada numa parede. A base dela está se afastando da parede a 0,5 m/s. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo quando a base está a 3 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente um conceito chamado taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação como um triângulo retângulo, onde:
  • A base da escada (que está se afastando) é um lado do triângulo, que chamaremos de x.
  • A altura da escada (a parte que toca a parede) é outro lado, que chamaremos de y.
  • A escada em si é a hipotenusa do triângulo, com comprimento fixo de 5 metros.
Então, temos a relação:
x^2 + y^2 = 5^2
x^2 + y^2 = 25

Passo 3

Agora, queremos saber como y está mudando com o tempo quando x = 3 metros. Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo t. Isso nos dá:
2x cdot dxdt + 2y cdot dydt = 0
Aqui, dxdt é a taxa na qual a base está se afastando (0,5 m/s) e dydt é a taxa que queremos encontrar (a velocidade com que o topo está descendo).

Passo 4

Vamos isolar dydt na equação:
2y cdot dydt = -2x cdot dxdt
dydt = -xy cdot dxdt
Isso significa que a velocidade com que o topo está descendo depende de x, y e de dxdt.

Passo 5

Quando x = 3 metros, vamos encontrar y usando a equação original:
3^2 + y^2 = 25
9 + y^2 = 25
y^2 = 16
y = 4 metros
Agora, substituímos os valores na equação de dydt:
dydt = -34 cdot 0,5
dydt = -3 times 0,54
dydt = -1,54
dydt = -0,375 m/s

Resposta

O topo da escada está descendo a uma taxa de -0,375 metros por segundo quando a base está a 3 metros da parede.

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