Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, justifique.
lim x infty x^3+2 x+14-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyx^3+2x+14-x^2. O conteúdo é limites de funções racionais no infinito e vamos usar análise assintótica dividindo termos de maior grau.

Passo 2

Para limites de funções racionais quando x tende a infinito, a técnica mais eficiente é dividir numerador e denominador pelo maior grau de x presente. No denominador o maior grau é x^2. Dividindo cada termo por x^2 temos:
$$
\frac{x3+2x+1}{4-x2}

\frac{\frac{x3}{x2}+\frac{2x}{x2}+\frac{1}{x2}}{\frac{4}{x2}-\frac{x2}{x^2}}

\frac{x+\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{x2}}{\tfrac{4}{x2}-1}.
$$

Passo 3

Analisando cada parte quando xtoinfty: tfrac2xto0, tfrac1x^2to0 e tfrac4x^2to0. Assim o numerador tende a x (que cresce sem limite) e o denominador tende a -1. Como a fração se comporta como x-1=-x para xtoinfty, concluímos que o valor tende a -infty.

Resposta

-\infty

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