Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo é limites de funções racionais no infinito e vamos usar análise assintótica dividindo termos de maior grau.
Passo 2
Para limites de funções racionais quando
tende a infinito, a técnica mais eficiente é dividir numerador e denominador pelo maior grau de
presente. No denominador o maior grau é
. Dividindo cada termo por
temos:
$$
\frac{x3+2x+1}{4-x2}
\frac{\frac{x3}{x2}+\frac{2x}{x2}+\frac{1}{x2}}{\frac{4}{x2}-\frac{x2}{x^2}}
\frac{x+\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{x2}}{\tfrac{4}{x2}-1}.
$$
Passo 3
Analisando cada parte quando
:
,
e
. Assim o numerador tende a
(que cresce sem limite) e o denominador tende a
. Como a fração se comporta como
para
, concluímos que o valor tende a
.
Resposta
-\infty