Resolva o seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que se parece com isso:
Então, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver isso, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, vamos usar as condições iniciais para descobrir os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é zero:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{r t} $, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo da direita é $ e^{t} $, e percebemos que $ e^{t} $ já aparece na solução homogênea $ y_h $, isso significa que precisamos modificar nossa tentativa de solução particular para evitar duplicidade. Nesse caso, multiplicamos por $ t $. Então, vamos tentar:
Onde $ A $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Então:
Comparando os coeficientes, temos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Passo 6
Vamos usar as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $ para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
Então:
Agora, vamos encontrar $ y’(t) $:
Simplificando:
Agora, aplicamos $ y’(0) = 1 $:
Sabemos que $ C_2 = -C_1 $, então substituindo:
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos corrigir a derivada de $ y(t) $.
Recalculando $ y’(t) $:
Derivando:
Agora, aplicando $ y’(0) = 1 $:
Sabendo que $ C_2 = -C_1 $, substituímos:
Então, $ C_2 = -2 $.
Resposta
Substituindo as constantes encontradas na solução geral, temos: