Resolva o seguinte problema de valor inicial
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^t, y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que se parece com isso:
y'' - 3 y' + 2 y = e^t, y(0) = 0 e y'(0) = 1
Então, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver isso, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, vamos usar as condições iniciais para descobrir os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é zero:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{r t} $, o que nos dá:
y
Resolvendo essa equação quadrática:
e^r t
Então, temos duas raízes reais distintas:
r^2 - 3 r + 2 = 0
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' - 3 y' + 2 y = e^t
Como o termo da direita é $ e^{t} $, e percebemos que $ e^{t} $ já aparece na solução homogênea $ y_h $, isso significa que precisamos modificar nossa tentativa de solução particular para evitar duplicidade. Nesse caso, multiplicamos por $ t $. Então, vamos tentar:
e^t
Onde $ A $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
yp
Segunda derivada:
yp' = A e^t + A t e^t = A e^t (1 + t)
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp'' = A e^t (1 + t) + A e^t = A e^t (2 + t)
Simplificando:
yp
Juntando os termos semelhantes:
yp'
Isso simplifica para:
yp''
Então:
A e^t (2 + t) - 3 [ A e^t (1 + t) ] + 2 [ A t e^t ] = e^t
Comparando os coeficientes, temos:
2 A e^t + A t e^t - 3 A e^t - 3 A t e^t + 2 A t e^t = e^t
Portanto, a solução particular é:
(2 A - 3 A) e^t + (A t - 3 A t + 2 A t) e^t = e^t

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
y(t) = yh + yp = C1 e^2 t + C2 e^t - t e^t

Passo 6

Vamos usar as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $ para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Então:
y'(0) = 1
Agora, vamos encontrar $ y’(t) $:
C1
Simplificando:
C2
Agora, aplicamos $ y’(0) = 1 $:
y(0) = 0
Sabemos que $ C_2 = -C_1 $, então substituindo:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 - 0 = C1 + C2
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos corrigir a derivada de $ y(t) $.
Recalculando $ y’(t) $:
C1 + C2 = 0 Rightarrow C2 = -C1
Derivando:
y'(t)
Agora, aplicando $ y’(0) = 1 $:
y'(t) = 2 C1 e^2 t + C2 e^t + C2 e^t - e^t - t e^t
Sabendo que $ C_2 = -C_1 $, substituímos:
y'(t) = 2 C1 e^2 t + C2 e^t + C2 e^t - e^t - t e^t = 2 C1 e^2 t + (2 C2 - 1) e^t - t e^t
Então, $ C_2 = -2 $.

Resposta

Substituindo as constantes encontradas na solução geral, temos:
y(t) = 2 e^2 t - 2 e^t - t e^t

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