Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, justifique.
lim x 2 x^2-3 x+2x^2-5 x+6

Passo 1

Estamos lidando com o limite limxto2x^2-3x+2x^2-5x+6. Isso cai na matéria de limites de funções racionais. Quando a substituição direta em um quociente dá 0/0, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e precisamos usar fatoração para simplificar.

Passo 2

Vamos tentar a substituição direta em x=2. Para o numerador: 2^2-3cdot2+2=4-6+2=0. Para o denominador: 2^2-5cdot2+6=4-10+6=0. Como obtemos 0/0, é indeterminado, então partimos para fatorar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador para encontrar fatores comuns. Temos:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Passo 4

Como ambos têm o fator x-2, podemos simplificar a expressão para xneq2. Após cancelar o fator x-2, obtemos a função equivalente:
x^2-3x+2x^2-5x+6=(x-1)(x-2)(x-2)(x-3)=x-1x-3, xneq2

Passo 5

Agora aplicamos o limite na forma simplificada. Substituindo x=2 em (x-1)/(x-3), temos (2-1)/(2-3)=1/(-1)=-1.

Resposta

-1

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