Resolva o sistema de equaçōes diferenciais
l d x1d t=4 x1+x2 d x2d t=-2 x1+x2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
dx1dt=4x1+x2 dx2dt=-2x1+x2
Isso cai no conteúdo de sistemas lineares homogêneos dot x=A x, onde precisamos achar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial dot x=A x, com
A=4 & 1 -2 & 1, x=x1 x2
Queremos resolver det(A-lambda I)=0 para encontrar os autovalores.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det4-lambda & 1 -2 & 1-lambda=(4-lambda)(1-lambda)-(-2) =lambda^2-5lambda+6=0
As raízes são lambda1=2 e lambda2=3.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
  • Se lambda1=2:
(A-2I)=2 & 1 -2 & -1, 2v1+v2=0implies v^(1)=1-2
  • Se lambda2=3:
(A-3I)=1 & 1 -2 & -2, v1+v2=0implies v^(2)=1-1

Passo 5

Como há dois autovalores distintos, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais:
x(t)=C1e^2t1-2+C2e^3t1-1

Resposta

As componentes ficam
x1(t)=C1e^2t+C2e^3t, x2(t)=-2C1e^2t-C2e^3t,
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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