Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(1 pt) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(2 x)}{\operatorname{sen}(5 x)}

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(2x)}{\operatorname{sen}(5x)}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é x.
  • A expressão é a razão entre a tangente de 2x e o seno de 5x.
    O objetivo é decidir se esse limite existe e, se existir, encontrar o seu valor numérico.

Passo 2

Lembrete de limites fundamentais que vou usar (explico abaixo por que valem):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1.
Esses limites são padrão em cálculo e permitem trocar funções trigonométricas por seus argumentos quando o argumento tende a zero (com cuidado). Vou justificar o primeiro e deduzir o segundo.

Passo 3

Justificativa do limite \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 (prova curta via desigualdade e Teorema do Confronto/Squeeze).
Para t em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale a conhecida desigualdade geométrica
\sin t < t < \tan t.
Dividindo todos os termos por t (positivo) e depois invertendo as desigualdades quando apropriado, obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Tomando recíprocos (e lembrando que reciprocidade inverte desigualdades), fica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t = 1, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
(O mesmo raciocínio vale para t\to 0^- por simetria das funções, e assim o limite bilateral existe e é 1.)

Passo 4

Deduzindo \lim_{t\to 0}\dfrac{\tan t}{t}=1.
Escreve-se
\frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}.
Ao fazer t\to 0 temos \dfrac{\sin t}{t}\to 1 (do passo anterior) e \dfrac{1}{\cos t}\to \dfrac{1}{\cos 0}=1. Pelo produto de limites,
\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1\cdot 1 = 1.

Passo 5

Agora manipulo a expressão do limite pedido para usar esses resultados. Começo escrevendo
\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)} = \frac{\tan(2x)}{2x}\cdot\frac{2x}{\sin(5x)}.
Em seguida escrevo \dfrac{2x}{\sin(5x)} de forma conveniente:
\frac{2x}{\sin(5x)}=\frac{2}{5}\cdot\frac{5x}{\sin(5x)}.
Combinando,
\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)} = \left(\frac{\tan(2x)}{2x}\right)\cdot\frac{2}{5}\cdot\left(\frac{5x}{\sin(5x)}\right).

Passo 6

Agora passo ao limite x\to 0. Pela decomposição do passo anterior e pelas propriedades de limites (produto e substituições):
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{2x}=1, porque é do tipo \dfrac{\tan t}{t} com t=2x e t\to 0.
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin(5x)}=1, porque é o recíproco de \dfrac{\sin(5x)}{5x} que tende a 1.
  • A constante \dfrac{2}{5} permanece.
Portanto,
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)} =1\cdot\frac{2}{5}\cdot 1 = \frac{2}{5}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica prática para prova: quando tiver uma razão de funções trigonométricas com argumentos que vão a zero, tente escrever fatores do tipo \dfrac{\sin( a x)}{a x} ou \dfrac{\tan( b x)}{b x}; esses fatores tendem a 1. O que sobra são constantes (como a e b) combinadas entre si.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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