Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(1 pt)
(1 pt)
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão é a razão entre a tangente de
e o seno de .
O objetivo é decidir se esse limite existe e, se existir, encontrar o seu valor numérico.
Passo 2
Lembrete de limites fundamentais que vou usar (explico abaixo por que valem):
Esses limites são padrão em cálculo e permitem trocar funções trigonométricas por seus argumentos quando o argumento tende a zero (com cuidado). Vou justificar o primeiro e deduzir o segundo.
Passo 3
Justificativa do limite
(prova curta via desigualdade e Teorema do Confronto/Squeeze).
Para
em
vale a conhecida desigualdade geométrica
Dividindo todos os termos por
(positivo) e depois invertendo as desigualdades quando apropriado, obtemos
Tomando recíprocos (e lembrando que reciprocidade inverte desigualdades), fica
Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
(O mesmo raciocínio vale para
por simetria das funções, e assim o limite bilateral existe e é
.)
Passo 4
Deduzindo
.
Escreve-se
Ao fazer
temos
(do passo anterior) e
. Pelo produto de limites,
Passo 5
Agora manipulo a expressão do limite pedido para usar esses resultados. Começo escrevendo
Em seguida escrevo
de forma conveniente:
Combinando,
Passo 6
Agora passo ao limite
. Pela decomposição do passo anterior e pelas propriedades de limites (produto e substituições):
-
, porque é do tipo com e . -
, porque é o recíproco de que tende a . - A constante
permanece.
Portanto,
Passo 7
Interpretação rápida e dica prática para prova: quando tiver uma razão de funções trigonométricas com argumentos que vão a zero, tente escrever fatores do tipo
ou
; esses fatores tendem a
. O que sobra são constantes (como
e
) combinadas entre si.