- Sejam
dadas por
e
. São dadas as seguintes informações:
- o ponto de mínimo (abscissa do vértice) de
é positivo;
- o valor mínimo (ordenada do vértice) de
é
.
(a) (
pt) Determine
, justificando sua resposta.
(b) (1 pt) Existe
tal que
? E tal que
? Justifique sua resposta e calcule-os, caso existam.
(a) (
(b) (1 pt) Existe
Passo 1
O enunciado dá duas funções
:
Informações fornecidas sobre
:
- a abscissa do vértice (ponto de mínimo) de
é positiva; - a ordenada do vértice (valor mínimo) de
é .
O que o exercício pede:
(a) Determinar , justificando.
(b) Verificar se existem tais que
e tais que
; justificar e calcular os
, caso existam.
(a) Determinar
(b) Verificar se existem
Passo 2
Vamos estudar o vértice da parábola
. Uma forma prática é completar o quadrado (isso também mostra por que o vértice é um mínimo, já que o coeficiente de
é positivo):
Dessa forma, o vértice ocorre em
tal que o quadrado se anula, isto é em
e a ordenada do vértice (valor mínimo) é
Explicando rápido: completar o quadrado é uma reescrita que mostra
como um quadrado não-negativo mais uma constante; como o quadrado é
e o coeficiente de
é
, esse é realmente o mínimo.
Passo 3
Usamos a informação sobre o valor mínimo:
. Igualando:
Multiplicando por
:
Portanto
Agora usamos a outra informação: a abscissa do vértice é positiva, isto é
Entre as duas opções
e
, a que satisfaz
é
Passo 4
Agora parte (b). Primeiro resolvemos
. Por definição,
Fatorando:
Logo
exatamente quando
ou
.
Resolvendo
:
Resolvendo
. Lembrando que
, então
. Assim
Logo
Portanto existem soluções reais:
e
para
.
Passo 5
Agora resolvemos
. Por definição,
Substituindo
:
Podemos dividir por
para simplificar:
Isto é uma equação quadrática. Usamos o discriminante
:
Como
há duas raízes reais; aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim as duas soluções são
Logo existem soluções reais
e
para
.
Resposta
a)
b)
tem soluções
e
tem soluções
e