1. Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dadas por f(x)=x^{2}+b x e g(x)=24 x+2. São dadas as seguintes informações:
  • o ponto de mínimo (abscissa do vértice) de f é positivo;
  • o valor mínimo (ordenada do vértice) de f é -1 / 9.
    (a) ( \mathbf{1} pt) Determine b, justificando sua resposta.
    (b) (1 pt) Existe x \in \mathbb{R} tal que (f \circ g)(x)=0 ? E tal que (g \circ f)(x)=0 ? Justifique sua resposta e calcule-os, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:
f(x)=x^{2}+b x,\qquad g(x)=24x+2.
Informações fornecidas sobre f:
  • a abscissa do vértice (ponto de mínimo) de f é positiva;
  • a ordenada do vértice (valor mínimo) de f é -\tfrac{1}{9}.
O que o exercício pede:
(a) Determinar b, justificando.
(b) Verificar se existem x\in\mathbb{R} tais que (f\circ g)(x)=0 e tais que (g\circ f)(x)=0; justificar e calcular os x, caso existam.

Passo 2

Vamos estudar o vértice da parábola f(x)=x^{2}+b x. Uma forma prática é completar o quadrado (isso também mostra por que o vértice é um mínimo, já que o coeficiente de x^{2} é positivo):
f(x)=x^{2}+b x = \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}.
Dessa forma, o vértice ocorre em x tal que o quadrado se anula, isto é em
x_{v}=-\frac{b}{2},
e a ordenada do vértice (valor mínimo) é
y_{v}=-\frac{b^{2}}{4}.
Explicando rápido: completar o quadrado é uma reescrita que mostra f(x) como um quadrado não-negativo mais uma constante; como o quadrado é \ge 0 e o coeficiente de x^{2} é 1>0, esse é realmente o mínimo.

Passo 3

Usamos a informação sobre o valor mínimo: y_{v}=-\dfrac{1}{9}. Igualando:
-\frac{b^{2}}{4}=-\frac{1}{9}\quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}}{4}=\frac{1}{9}.
Multiplicando por 4:
b^{2}=\frac{4}{9}.
Portanto
b=\pm\frac{2}{3}.
Agora usamos a outra informação: a abscissa do vértice é positiva, isto é
x_{v}=-\frac{b}{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad b<0.
Entre as duas opções b=\tfrac{2}{3} e b=-\tfrac{2}{3}, a que satisfaz b<0 é
b=-\frac{2}{3}.

Passo 4

Agora parte (b). Primeiro resolvemos (f\circ g)(x)=0. Por definição,
(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x))^{2}+b\,g(x).
Fatorando:
f(g(x))=g(x)\bigl(g(x)+b\bigr).
Logo f(g(x))=0 exatamente quando g(x)=0 ou g(x)=-b.
Resolvendo g(x)=0:
24x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{2}{24}=-\frac{1}{12}.
Resolvendo g(x)=-b. Lembrando que b=-\tfrac{2}{3}, então -b=\tfrac{2}{3}. Assim
24x+2=\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad 24x=\frac{2}{3}-2=\frac{2-6}{3}=-\frac{4}{3}.
Logo
x=-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{24}=-\frac{4}{72}=-\frac{1}{18}.
Portanto existem soluções reais: x=-\tfrac{1}{12} e x=-\tfrac{1}{18} para (f\circ g)(x)=0.

Passo 5

Agora resolvemos (g\circ f)(x)=0. Por definição,
(g\circ f)(x)=g(f(x))=24\,f(x)+2=24\bigl(x^{2}+b x\bigr)+2.
Substituindo b=-\tfrac{2}{3}:
g(f(x))=24x^{2}+24\left(-\frac{2}{3}\right)x+2=24x^{2}-16x+2.
Podemos dividir por 2 para simplificar:
12x^{2}-8x+1=0.
Isto é uma equação quadrática. Usamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot 12\cdot 1 =64-48=16.
Como \Delta>0 há duas raízes reais; aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{8\pm\sqrt{16}}{24}=\frac{8\pm 4}{24}.
Assim as duas soluções são
x_{1}=\frac{8+4}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}, \qquad x_{2}=\frac{8-4}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.
Logo existem soluções reais x=\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{1}{6} para (g\circ f)(x)=0.

Resposta

a) b=-\dfrac{2}{3}
b) (f\circ g)(x)=0 tem soluções x=-\dfrac{1}{12} e x=-\dfrac{1}{18}
(g\circ f)(x)=0 tem soluções x=\dfrac{1}{2} e x=\dfrac{1}{6}

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